Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 18

[matematikolimpiyati]

Her biri ya kırmızı ya da beyaz renkte olan $N<111$ top birkaç kutuya, bazı kutularda $3$ kırmızı ve $1$ beyaz, bazı kutularda $1$ kırmızı ve $2$ beyaz ve sadece bir kutuda $1$ kırmızı ve $1$ beyaz top olacak şekilde dağıtılmıştır. Kırmızı topların sayısı beyaz toplardan $\% 50$ fazla olduğuna göre, $N$ sayısı en fazla kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 89  \qquad\textbf{b)}\ 95  \qquad\textbf{c)}\ 101  \qquad\textbf{d)}\ 105  \qquad\textbf{e)}\ 110$

[vedatde]

3 kırmızı 1 beyaz top konan kutuların saysısı a ve
1 kırmızı 2 beyaz konan topların sayısı da b olsun.
K kutulardaki toplam kırmızı top sayısı,B de kutulardaki toplam beyaz top sayısı olsun.
$K=3a+b+1$
$B=a+2b+1$
$ (K-B)/B=1/2 $   ve $2K=3B$ olur.
$6a+2b+2=3a+6b+3$
$3a=4b+1$ olur.
$N=K+B=4a+3b+2=(16b+4)/3+3b+2=8b+3+(b+1)/3  $
$b=3t-1$ ise
$N=24t-8+3+t=25t-5 $
$25t-5<111$
$t≤4 $
$N$ değerinin en büyük olması için $t=4$ olmalıdır.
$N=4(25)-5=100-5=95$  olur.
$b=11$ , $ a=154$  , $ K=57$ ve $B=38$ olur.

[ygzgndgn]

Cevap $\boxed{B}$

İçerisinde 3 kırmızı 1 beyaz top olan kutuların sayısı $x$, 1 kırmızı 2 beyaz olanların sayısı $y$ olsun. Böylelikle kırmızı topların sayısı $(3x+y+1)$, beyaz topların sayısı $(x+2y+1)$ bulunur. Her top ya kırmızı ya da beyaz olduğundan
$$N = (3x+y+1)+(x+2y+1) = 4x+3y+2$$ bulunur. $4x+3y+2<111$ ise $4x+3y<109$ olmalıdır. Bunun yanında soruda $$\frac{3x+y+1}{x+2y+1}=\frac{3}{2}\Leftrightarrow 3x-4y=1$$ verilmiş. İfade mod 3'te incelenirse $y\equiv 2 \pmod{3}$ olduğu görülür. Elde edilenlerden $-12x+16y=-4$ ve $12x+9y<327$ olduğu görülür. Bu iki ifade toplanırsa $25y<323$ dolayısıyla $y<13$ olduğu görülür. Demek ki $y$'nin alabileceği en büyük değer $11$ imiş. $y$ en büyük değerini aldığında $x$ dolayısıyla da $N$ en büyük değerini alır. $y=11$ ise eşitlikten $x=15$ bulunur. Bu değerler $N$ ifadesine girildiğinde $N$'in en büyük değerinin $4\cdot15+3\cdot11+2=95$ olduğu görülür. Öyleyse $N\leq 95$.