Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 17

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $[BC]$ kenarının orta noktası $D$ dir. $ADC$ üçgeninin $D$ köşesine ait iç açıortay $AC$ doğrusunu $E$ de kesiyor. $E$ den geçen ve $BC$ ye paralel olan doğru $AB$ doğrusunu $F$ de kesiyor. $s(\widehat{EDC})=30^{\circ}$ ise $s(\widehat{FDB})$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ 15^{\circ}  \qquad\textbf{b)}\ 30^{\circ}  \qquad\textbf{c)}\ 45^{\circ}  \qquad\textbf{d)}\ 60^{\circ}  \qquad\textbf{e)}\ 75^{\circ}$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$AD$ ile $EF$ nin kesişimi $G$ noktası olsun. $EF \parallel BC$ olduğundan $\dfrac{|FG|}{|BD|} = \dfrac{|GE|}{|DC|}$ dir. $|BD|=|DC|$ olduğundan $|EG|=|GF|$ dir. Yine paralellikten dolayı $s(\widehat{GDE}) = s(\widehat{CDE})=s(\widehat{GED})=30^\circ $ dir. Böylece $|GD|=|GE|=|GF|$ olup Thales teoreminden dolayı $s(\widehat{FDE})=90^\circ $ dir. Buradan $ s(\widehat{FDG})=s(\widehat{FDB})=60^\circ $ elde edilir.