Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 14

[matematikolimpiyati]

$|3n^2-14n+8|$ ifadesini bir asal sayı yapan $n$ tam sayılarının toplamı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 4  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 9  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[ygzgndgn]

Cevap D.

3n^2-14n+8 polinomu (3n-2)(n-4) şeklinde çarpanlarına ayrılır. Eğer bu ifadenin bir asal sayı olmasını istiyorsak bu çarpanlardan birisi 1 veya -1'e, diğeri ise bir asal sayıya eşit olmalıdır. Çarpımın negatif olması soruda ifadenin mutlak değer içinde verilmiş olmasından ötürü sonucu etkilemez.

i) 3n-2=1 -> n=1'dir. n-4=-3 bulunur. n=1 için ifademiz |-3|=3 yani bir asal sayı olur. Bu bir çözümdür.
ii) 3n-2=-1 -> n bir tam sayı olmaz. Böyle bir çözüm yoktur.
iii) n-4=1 -> n=5'tir. 3n-2=13 bulunur. n=5 için ifademiz 13 olup bir asal sayı olur. Bu bir çözümdür.
iv) n-4=-1 -> n=3'tür. 3n-2=7 bulunur. n=3 için ifademiz |-7|=7 yani bir asal sayı olur. Bu bir çözümdür.

Çözümler toplamı ise 1+5+3=9'dur. Cevabımız dokuzdur.