Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 12

[matematikolimpiyati]

Birbirinden farklı ağırlıklara sahip $62$ taş ve $31$ tane eşit kollu terazi bulunmaktadır. Her bir kola bir taş gelecek şekilde tüm taşlar kollara dağıtılıyor ve her terazi için ağır olan taş işaretleniyor. Sonrasında bu işlem tekrar yapılıyor. İki defa işaretlenen taş sayısı en az kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 8  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 31$

[ygzgndgn]

Cevap A.

Taşların kütleleri a62>a61>a60>...>a2>a1 şeklinde olsun. İlk tartımızı her parantezi bir terazi olarak düşünürsek (a62,a61),(a60,a59),...,(a2,a1) şeklinde yapalım. Böylelikle a62,a60,...a2 taşları yani indisi çift olan taşlar işaretlenmiş olur. İkinci tartımız ise yine her parantez bir terazi gibi düşünülürse (a61,a60),(a59,a58),...(a3,a2),(a62,a1) şeklinde yapalım. Böylelikle a62,a61,...a5,a3 taşları yani a1 haricinde indisi tek olan taşlar işaretlenmiş olur. Son durumda a62 iki kez; a61,a60,...,a3,a2 bir kez, a1 hiç işaretlenmemiş olur. Böylelikle cevap bir olarak bulunur.