Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 09

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $B$ ve $C$ noktalarından geçen bir çember $[AB]$ ve $[AC]$ kenarlarını ikinci kez sırasıyla $D$ ve $E$ noktalarında kesiyor. $BE$ ile $CD$ nin kesişimi $F$ olmak üzere $|AD|=4$, $|AE|=3$ ve $|AB|=9$ ise $|BF|/|FC|$ kaçtır?

$\textbf{a)}\ \dfrac35  \qquad\textbf{b)}\ \dfrac49  \qquad\textbf{c)}\ \dfrac13  \qquad\textbf{d)}\ \dfrac56  \qquad\textbf{e)}\ \dfrac59$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{E}$

$A$ noktasının çembere göre kuvvetinden $ |AD|\cdot |AB| = |AE| \cdot |AC|$ olup $4\cdot 9 = 3\cdot |AC|$ dir. $|AC|=12$, $|EC|=12-3=9$ bulunur. Çemberde çevre açı eşitliklerinden dolayı $BDF \sim CEF$ (açı-açı-açı) benzerliği olup $\dfrac{|BF|}{|FC|} = \dfrac{|BD|}{|EC|} = \dfrac{5}{9}$  olur.