Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 07

[matematikolimpiyati]

Bir masa üzerinde her biri en fazla $2$ top alabilen birkaç boş kutu bulunuyor. Bu kutulara $19$ top tam olarak $11$ kutu boş kalacak şekilde ya da $13$ top tam olarak $10$ kutu boş kalacak şekilde yerleştirilebiliyor. Buna göre, masa üzerindeki kutu sayısının alabileceği kaç farklı değer vardır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[ygzgndgn]

Cevap C.

Kutu sayısı x olsun. Her iki koşul için kutu sayısının alabileceği maksimum ve minimum değerleri göz önünde bulunduralım. Eğer 19 top tam olarak 11 kutu boş kalacak biçimde yerleştirilebiliyorsa 9 tane kutuya 2 top, 1 tane kutuya 1 top, 11 tane kutuya hiç top konmadan bu sağlanabilir. Demek ki minimum 9+1+11=21'dir. Bunun yanında bu 19 kutuya 1 top, 11 kutuya hiç top konmadan da sağlanabilir. Demek ki maksimum değer 19+11=30'dur. Buradan 20<x<31 eşitsizliği gelir. Eğer 13 top tam olarak 10 kutu boş kalacak şekilde yerleştirilebiliyorsa 6 tane kutuya 2 top, 1 tane kutuya 1 top, 10 tane kutuya hiç top konmadan bu sağlanabilir. Demek ki minimum 6+1+10=17'dir. Bunun yanında 13 kutuya 1 top, 10 kutuya hiç top konmadan da bu sağlanabilir. Demek ki maksimum 13+10=23'tür. Buradan da 16<x<24 eşitsizliği gelir. Elde edilen iki aralığın kesişim kümesi alınırsa 20<x<24 olduğu görülür. Demek ki x, yani kutu sayısı, 21, 22 ve 23 değerlerini alabiliyor. Üç farklı değer vardır.

[vedatde]

Masa üzerinde n tane boş kutu olsun. Bu kutular en fazla 2 top alabilmektedir.
Bu n kutuya 19 top yerleştirildiğinde 11 kutu boş kalmaktadır.
Bu durumda top yerleştirilen kutu sayısı m olsun.  $10≤m ≤19 $ olur.
$ n=m+11 $    ve $ 21≤n≤30 $ olur.
Bu n kutuya 13 top yerleştirildiğinde 10 kutu boş kalmaktadır.
Bu durumda top yerleştirilen kutu sayısı t olsun.  $ 7≤t ≤13 $ olur.
$ n=t+10$   ve $17≤n≤23 $ olur.
Öyleyse n için bulunan 2 aralık kesişimi  21≤n≤23 olur. 3 tane n değeri vardır.
n=21, n=22 ve n=23 değerlerini alır.