Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 03

[matematikolimpiyati]

$77$ kırmızı ve $73$ beyaz top içeren bir kutuya birkaç kırmızı ve birkaç beyaz top ekleniyor. Eklenen topların $ \% 60$'ı kırmızı ise toplar eklendikten sonra kutudaki kırmızı topların yüzdesinin alabileceği farklı pozitif tam sayı değerlerinin sayısı kaçtır?

$\textbf{a)}\ 1  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 4  \qquad\textbf{e)}\ 5$

[vedatde]

77 kırmızı ve 73 beyaz top içeren bir kutuya a tane kırmızı ve b tane beyaz top eklensin.
Eklenen topların % 60’ı kırmızı ise,

$a/(a+b)=60/100=3/5$ ve $2a=3b$ olur.
 
Toplar eklendikten sonra kutudaki kırmızı topların yüzdesinin alabileceği farklı pozitif tam sayı değerlerinin sayısı

$k=(77+a)/(150+a+b)=(154+2a)/(300+2a+2b)=(154+3b)/(300+5b)$

$100k=100(154+3b)/(5(60+b)) $=$20 (180+3b-26)/(60+b)$=$20(3-26/(60+b))$=$60-(2^3.5.13)/(60+b)$

$2^3.5.13=520$ nin bölenlerinin bazıları $100k$ değerini belirlemektedir. Bunlarda
 
b=5 için 100k=52 
b=70 için 100k=56 
b=200 için 100k=58 
b=460 için 100k=59
olmak üzere 4 çözüm gelmektedir.

[yusufipek]

Küçük Bir Düzeltme: b=5 için 100k=52 durumunda a tamsayı olmamaktadır. Bunun yerine b=44 için 100k=55 olmalı.