Tübitak Ortaokul 1. Aşama 2023 Soru 02

[matematikolimpiyati]

$5^{2023}+6^{2023}+7^{2023}$ sayısının $13$ ile bölümünden kalan nedir?

$\textbf{a)}\ 4  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 6  \qquad\textbf{d)}\ 7  \qquad\textbf{e)}\ 8$

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

İlk önce Fermat veya Euler-Phi fonksiyonlarını kullanarak 5²⁰²³+6²⁰²³+7²⁰²³ ün üslerinin mod 12 de kaç kalan verdiğini bulalım. 2023=12k+7 dir ve 5²⁰²³+6²⁰²³+7²⁰²³=5⁷+6⁷+7⁷(mod 13) tür. (Denklik işaretini yapamadım affedersiniz.) Şimdi de n^2k+1 + x^2k+1 =(n+x)(n^2k+(n^2k-1).x+ .... + x^2k+1) özdeşliğini kullanırsak 6⁷+7⁷ nin 13'e bölündüğünü buluruz. Geriye 5⁷ kaldı. 5⁷=?(mod13) e dönüştü soru. 5¹=5, 5²=-1 ve 5⁴=1 (mod 13) olur ve 4, mod 13'te 5 in mertebesidir. Buna göre 5⁷=5³(mod 13) tür. 5³'ün 13 ile bölümünden kalan ise 8'dir. Cevabımız 8'dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Hatamı düzelteyim:
n^2k+1 + x^2k+1 =(n+x)(n^2k+(n^2k-1).x-- ....) olmalı idi.