Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2023 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$k$ bir pozitif tam sayı olsun. Lexi'nin, sadece $A$ ve $B$ harflerini içeren $k$ harfli kelimelerden oluşan bir $\mathcal D$ sözlüğü vardır. Lexi, $k \times k$ boyutlarında bir satranç tahtasının birim karelerinin her birine ya $A$ ya da $B$ harfini, her satır soldan sağa okunduğunda $\mathcal D$ de bulunan bir kelime oluşacak ve her sütun yukarıdan aşağıya okunduğunda $\mathcal D$ de bulunan bir kelime oluşacak şekilde yazmak istiyor.
En az $m$ farklı kelime içeren her $\mathcal D$ sözlüğü için Lexi tahtayı istediği biçimde doldurabiliyorsa $m$ tam sayısının alabileceği en küçük değer nedir?