Avrupa Kızlar Matematik Olimpiyatı 2023 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$n \geq 3$ olmak üzere, $a_1,a_2,...,a_n$ pozitif reel sayıları verilmiştir. Her $1 \leq i \leq n$ için $b_i=\dfrac{a_{i-1} + a_{i+1}}{a_i}$ olsun (burada $a_0$ sayısı $a_n$ ve $a_{n+1}$ sayısı $a_1$ olarak tanımlanmıştır). Her $i,j \in [1,2,...,n]$ için $a_i \leq a_j$ ancak ve ancak $b_i \leq b_j$ dir.
$$a_1=a_2= \dots =a_n$$ olduğunu ispatlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Aksini varsayalım. $a_i$'lerin hepsi aynı olmasın. $m=\min\limits_{i=1,2,\dots,n} a_i$ ve $M=\max\limits_{i=1,2,\dots,n} a_i$ olsun. $M>m$'dir. $a_j=M$ olacak şekilde bir $j$ ve $a_i=m$ olacak şekilde bir $i$ alalım. Bu durumda $$a_i\leq a_{j}\iff b_i\leq b_j\iff \frac{a_{i-1}+a_{i+1}}{a_i}\leq \frac{a_{j-1}+a_{j+1}}{a_j}\leq 2$$ olacaktır çünkü $a_{j-1}\leq a_j$ ve $a_{j+1}\leq a_j$'dir. Buradan $$a_{i-1}+a_{i+1}\leq 2a_i$$ elde edilir. Ancak $a_i$ minimum eleman olduğundan $a_{i-1}+a_{i+1}\geq a_i$'dir. Bu da eşitlik durumu sağlanması gerektiğini gösterir. Yani $a_{i-1}=a_{i}=a_{i+1}$ olacaktır. $a_{i}$ yerine $a_{i-1}$ ve $a_{i+1}$ elemanlarını seçerek aynı işlemleri yaparsak da $a_{i-2}=a_{i-1}=a_{i}=a_{i+1}=a_{i+2}$ elde edilecektir. Bu şekilde ilerlersek $a_j=a_i$ elde edilir ancak $M>m$ olduğundan bu bir çelişkidir. Demek ki tüm $a_i$'ler eşittir.