Balkan Matematik Olimpiyatı 2023 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Her $x,y \in \mathbb R$ için,
$$xf(x+f(y))=(y-x)f(f(x))$$
koşulunu sağlayan tüm $f : \mathbb R \to \mathbb R$ fonksiyonlarını bulunuz.

(Makedonya)

[Abdullah demircan]

Öncelikle $f(x)=0$ bir çözüm. Şimdi sabit olmadığını farz edelim.
$P(0,y):y.fof(0)=0$ olduğu için $fof(0)=0$
$P(x,x):x.f(x+f(x))=0,f(x+f(x))=0$. $fof(0)$ da 0'a eşit olduğu için görüntüsü sıfıra eşit olan iki sayının olup olamayacağını öğrenmek lazım. O yüzden $f(a)=f(b)=0$ $a≠b$ diyelim.
$P(a,b):f(0)(a-b)=0$.$f(0)=0$ kabul edelim ve $f(a)=0$ $a≠0$ diyelim
$P(x,0):x.f(x)=-x.fof(x)$,$fof(x)=-f(x)$
$P(x,a):x.f(x)=(a-x)fof(x)$ üstteki eşitlikten $a=0$ olmalıdır. Yani $f(a)=0⇔a=0$
$f(x+f(x))=0$ eşitliğinden $f(x)=-x$ olmalı. Şimdi $f(a)=f(b)=0⇔a=b=f(0)$ kabul edelim. O zaman $f(x+f(x))=0$ eşitliğinden $f(x)=a-x$ olur. yani her türlü bu formda bir fonksiyon olmalı.