İspat: İspatı, olmayana ergi (çelişki) yöntemiyle yapalım. Teoremin ifadesinin yanlış olduğunu varsayalım. $4k+1$ formundaki tüm asal sayılar $p_1, p_2, \dots, p_n$ olsun. Bu formdaki tüm asalların kümesini $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ ile gösterelim. Örneğin $p_1=5$ dir. Yani her $1\leq i\leq n$ için $p_i \equiv 1 \pmod{4}$ olsun. O halde
$$ P = 4\cdot p_1^2 p_2^2 \cdots p_n^2 + 1$$
sayısını tanımlarsak $P\equiv 1 \pmod{4}$ olur. $P$ sayısı $S= \{ p_1, p_2, \dots , p_n\}$ kümesinin bir elemanı değildir. Ayrıca $2\nmid P$ ve her $i$ için $p_i \nmid P$ dir. O halde $P$ nin asal bölenleri $q_j \equiv 3 \pmod{4}$ formundaki sayılardan oluşmaktadır. (İsterseniz, $P= q_1^{a_1}q_2^{a_1}\cdot q_m^{a_m}$ biçiminde asal çarpanlara ayrılmış biçimde yazabilirsiniz.) Bu asallardan biri $q$ olsun. Yani, $P\equiv 0 \pmod{q}$ ve $q\equiv 3 \pmod{4}$ tür.
$x= 2\cdot p_1p_2\cdot p_n$ dersek $P = x^2 +1$ olup $x^2 \equiv -1 \pmod{q}$ olur. Bu denkliği sağlayan bir $x$ tam sayısı olması için gerek ve yeter şart $q\equiv 1 \pmod{4}$ olmasıdır. Bunun ispatı için
buradaki $4n+1$ asal konu başlığındaki teoremlere bakabilirsiniz. Sonuç olarak, $q\geq 5$ asal sayı olduğundan $q\equiv 3 \pmod{4}$ ve $q\equiv 1 \pmod{4}$ olması bir çelişkidir.
Bu çelişkinin oluşma sebebi $S$ kümesinin sonlu elemanlı kabul edilmesidir. Yani, teoremin ifadesi doğru olup $p\equiv 1 \pmod{4}$ formunda sonsuz çoklukta asal sayı vardır.
