2004 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$x>0$ ve $y>\dfrac12+x$ olmak üzere, $x$ ve $y$ reel sayıları $x^{30}+y^{30}=1$ denklemini sağlasın. $y$ sayısının ondalık kesir biçimindeki yazılımında virgülden sonra ilk $9$ basamağın $9$ olduğunu gösteriniz.

[Ege Sarıbaş]

Öncelikle x < (y - 1/2) olduğundan x³⁰ < (y - 1/2)³⁰ olur.
x³⁰ = 1 - y³⁰ olduğundan y³⁰ + (y - 1/2)³⁰ > 1 olur.
Soruda verilen eşitlikten y < 1 olan bir pozitif sayı olduğu anlaşılır. Buradan
(y - 1/2)³⁰ < (1/2)³⁰ olur.
y³⁰ + (1/2)³⁰ > y³⁰ + (y - 1/2)³⁰ > 1 ve buradan:
y³⁰ + (1/2)³⁰ > 1 ve y³⁰ > 1 - 1/(2³⁰) olur.
2³⁰ > 32000² > 1000.10⁶ = 10⁹ eşitsizliğini görmek zor değildir. Buradan:
1 - 1/2³⁰ > 1 - 1/10⁹ yani y³⁰ > 0,999999999 olur. 0 ile 1 arasında bulunan sayıların kökünü aldıkça sayı büyür. Bu sebepten:
y > 0,999999999 diyebiliriz. Buradan da y sayısının virgülden sonraki ilk dokuz basamağının 9 olduğu anlaşılır.