$m$ ve $n$ pozitif tamsayıları için $$m^2+mn+n^2\equiv 0\pmod{10}\iff \left(m^2+mn+n^2\equiv 0\pmod{2}\right)\text{ ve }\left(m^2+n^2+mn\equiv 0\pmod{5}\right)$$ olduğunu kabul edelim. $$m^2+mn+n^2\equiv m+n+mn\equiv (m+1)(n+1)-1\equiv 0\pmod{2}\implies (m+1)(n+1)\equiv 1\pmod{2}\implies m\equiv n\equiv 0\pmod{2}$$ bulunur. $$m^2+mn+n^2\equiv 0\pmod{5}\implies 4m^2+4mn+4n^2\equiv 0\pmod{5}\implies (2m+n)^2\equiv 2n^2\pmod{5}$$ olur. Eğer $(5,n)=1$ ise $n$'nin $5$ modunda tersi vardır ve $$(2m+n)^2\cdot (n^{-1})^2\equiv 2\pmod{5}$$ olur ancak $2$, $5$ modunda karekalan değildir. Yani hiçbir sayının karesi $2$ kalanı veremez. Bu bir çelişkidir. Dolayısıyla $(5,n)>1$ olmalı, yani $5\mid n$ olmalıdır. Benzer şekilde $5\mid m$ olacaktır. Yani $10\mid m,n$ olacaktır. Dolayısıyla $m^2$, $mn$ ve $n^2$ sayılarının hepsi $100$ ile tam bölünür. Buradan da $$m^2+mn+n^2\equiv 0\pmod{100}$$ bulunur. Yani $m^2+mn+n^2$'nin sondan iki basamağı da $0$'dır.
