2003 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$xyz=1$ eşitliğini sağlayan her pozitif $x,y$ ve $z$ sayıları için
$$\dfrac{2x^2y^2}{x+y}+\dfrac{2y^2z^2}{y+z}+\dfrac{2z^2x^2}{z+x} \geq 3 $$
eşitsizliğinin sağlanacağını gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

$(x,y,z)\to \left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)$ dönüşümü yaparsak, $abc=1$ ve ispatlamamız gereken eşitsizlik $$\frac{\frac{2}{a^2b^2}}{\frac{a+b}{ab}}+\frac{\frac{2}{b^2c^2}}{\frac{b+c}{bc}}+\frac{\frac{2}{a^2c^2}}{\frac{a+c}{ac}}\geq 3\iff \frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}$$ olur. Bu da oldukça ünlü bir eşitsizliktir ve çok fazla ispatı vardır, bir tanesini kullanalım. $$\frac{c}{a+b}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}\geq \frac{3}{2}\iff (a+b+c)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\geq \frac{9}{2}$$ $$\iff \left[(b+c)+(a+c)+(a+b)\right]\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\geq 9\iff \frac{(b+c)+(a+c)+(a+b)}{3}\geq \frac{3}{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}}$$ olur ki son eşitsizlik de Aritmetik-Harmonik ortalamadır. Dolayısıyla ana eşitsizlik doğrudur. Eşitlik durumu da $a=b=c=1$ yani $x=y=z=1$'dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

Bergström ve $\left(xy+yz+zx\right)^2\geq 3xyz\left(x+y+z\right)$ eşitsizlikleri kullanıldığında

$$LHS=\sum_{cyc}{\dfrac{2x^2y^2}{x+y}}\overbrace{\geq}^{Bergström} \dfrac{2\left(xy+yz+zx\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{\left(xy+yz+zx\right)^2}{x+y+z}\geq 3xyz=3$$
olarak elde edilir.