$x!\cdot y!=z!$ eşitliği üzerine

[alpercay]

$x!\cdot y!=z!$ eşitliğini sağlayan sonsuz çoklukta pozitif tam sayı üçlüsü olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

Herhangi bir $n\in \mathbb{Z}^+$ için $x=(n!-1)$ ve $y=n$ alırsak, $$x!\cdot y!=(n!-1)!\cdot n!=(n!)!$$ olur. Yani $(x,y,z)=(n!-1,n,n!)$ bir çözümdür. Sonsuz $n$ seçebileceğimizden sonsuz çözüm vardır.

Not: Sonradan gördüm ama Alper hocam da buradaki gönderide bu örneği kullanmış.

[egeyardimli]

Bu formda olmayan, mesela 10! = 6!.7! gibi çözümler bulunabilir mi? Ya da bulunup bulanamayacağına dair ispat var mıdır?

[Metin Can Aydemir]

Bu formda olmayan, mesela 10! = 6!.7! gibi çözümler bulunabilir mi? Ya da bulunup bulanamayacağına dair ispat var mıdır?

Tüm çözümleri veren tek bir format olduğunu sanmıyorum. Lokman hocanın buradaki çözümünde de bahsettiği gibi genelliği bozmadan $x\leq y\leq z$ dersek, $x!$'i $(y+1)(y+2)\cdots (z-1)z$ olarak yazabilmemiz gerekir. Benim verdiğim örnek sadece $z-y=1$ yani sadece $x!=z$'i ele alıyor (önceki iletimde $x$ ile $y$'yi değiştirmişim ama çok önemli değil). $0\leq z-y\leq x$ olarak değiştirerek farklı çözümler elde edebiliriz.

Örneğin $z-y=2$ olarak seçersek $x!=(z-1)z$ olmalıdır. Bu durumda genel çözüm bulabilir miyiz bilmiyorum ama $(x,y,z)=(3,1,3)$ çözümü vardır. Bu yüzden çözümleri bulabilmemiz için başka bir sınırlayıcı denklem lazım. Buradaki soruda da bu yüzden $x+y+z$'i sabit vermiş.