Sayılar teorisi ve geometriyi birleştirme girişimleri - 2

[Lokman Gökçe]

Aşağıdaki gibi bir problem yazdım. Daha önce de düşünülmüş olması mümkündür. Metin Can Aydemir'in burada açtığı başlığı destekleyici bir soru türü olacağını düşünerek paylaşmak istedim.



Problem [Lokman GÖKÇE]: İç teğet çemberinin yarıçapı sabit bir $r$ pozitif tam sayısı olarak verilen, tüm kenar uzunlukları tam sayı olan kaç farklı dik üçgen vardır?

$r=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}$ biçiminde asal çarpanlara ayrıldığını varsayarak, yanıtınızı $n_1, n_2,\dots , n_k$ türünden ifade ediniz.

[Metin Can Aydemir]

Öncelikle çözümümde $(a,b,c)$ ile $(b,a,c)$ üçgenlerini aynı aldığımı belirteyim. Çözümü belli bir yere kadar getirdikten sonra genel formülü göstermek zor geldi. Yine de geldiğim yere kadar olan kısmı ve çözüm sayısı için yazdığım kodu ekledim.

Pisagor üçlülerinden $m,n,k\in\mathbb{Z}^+$ olmak üzere, $(m,n)=1$, $m>n$ ve $m$ ve $n$'den biri çift, diğeri tek olsun. Üçgenin kenarları, $c$ hipotenüs olmak üzere $(a,b,c)=(k(m^2-n^2),2kmn, k(m^2+n^2))$ formatındadır. İç teğet çemberi çizip, basit bir işlemle $2r=a+b-c$ olacağını görebiliriz. Dolayısıyla, $$r=k(mn-n^2)=kn(m-n)$$ olacaktır. $r$'yi üç sayının çarpımı olarak yazmalıyız. Eğer $r=d_1d_2d_3$ olarak yazarsak, $(k,m,n)=(d_1,d_2+d_3,d_2)$ olacaktır. Buradan $d_2$ ve $d_3$'ün aralarında asal olması gerektiğini ve $d_3$'ün tek olması gerektiğini elde ederiz.

Son bulgu üzerinden bir Python kodu yazarsak,

Kod: [Seç]

import math

def gcd(a, b):
    while b != 0:
        a, b = b, a % b
    return a

def coprime(a, b):
    return gcd(a, b) == 1

def divisors(n):
    divs = [1]
    for i in range(2,int(math.sqrt(n))+1):
        if n%i == 0:
            divs.extend([i,int(n/i)])
    divs.extend([n])
    divs.sort()
    divs = list(dict.fromkeys(divs))
    return divs

def solutions(r):
    count=0
    for k in divisors(r):
        for n in divisors(int(r/k)):
            if coprime(n,int(r/(k*n))) and (int(r/(k*n)))%2==1:
                count+=1
    return count

print(solutions(18))

Kodun sonucunda deneme yaparsak sonucun genel bir formattan ziyade, $2$ asalına göre değiştiğine ulaşıyoruz. Bu yüzden $r=2^ap_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}$ olarak yazalım ($a\geq 0$, $n_i\geq 1$, $p_i$'ler farklı tek asallar). Bu şekilde çarpanlarına ayrılırsa, çözüm sayısı $(a+1)(2n_1+1)(2n_2+1)\cdots(2n_k+1)$ olarak bulunur. Bu formülden ayrıca $r=1$ olan tek üçgen olduğunu görebiliriz ki bu üçgen de $(3,4,5)$ üçgenidir.

[Lokman Gökçe]

$r$ nin $2$ çarpanı içerip içermemesine göre formülde küçük bir değişiklik olacaktır. Öncelikle $ABC$ dik üçgeninin iç teğet çemberinin merkezinden kenarlara dikmeler çizerek $b+c-2r = a$ eşitliğini görebiliriz. Burada $b, c, r$ birer tam sayı iken hipotenüs uzunluğu olan $a$ değerinin de bir tam sayı olması gerektiğini anlıyoruz. Böylece $a=\sqrt{b^2 + c^2}$ değerini bu denklemde yazabiliriz.

$$ b + c - 2r = \sqrt{b^2 + c^2} $$

olup kare alırsak $ b^2 + c^2 + 4r^2 + 2(bc - 2br - 2cr) = b^2 + c^2$ olur. Bu denklemi düzenlersek $ bc - 2br - 2cr = -2r^2 $ olur. Her iki tarafa $4r^2$ eklersek

$$ (b-2r)(c-2r) = 2r^2$$ biçiminde çarpanlara ayrılır. O halde bu denklemin $2r^2$ nin pozitif bölen sayısı kadar $(b,c)$ pozitif tam sayı çifti çözümü vardır. Biz farklı dik üçgenleri bulmak istediğimiz için $b>c$ durumlarına bakabiliriz. O halde yanıtımız:

$$ 2r^2 \text{sayısının pozitif tam bölenlerinin sayısının yarısı}$$

olacaktır. $p_1<p_2<\cdots <p_k$ farklı asal sayılar olmak üzere $r= r=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_k^{n_k}$ biçiminde asal çarpanlara ayrılmış olsun.

$\bullet $ $2\mid r$ iken $p_1=2$ olup $2r^2 = p_1^{2n_1 + 1}p_2^{2n_2}\cdots p_k^{2n_k}$ dir. Bu halde istenen değer $ (n_1 + 1)(2n_2 + 1)\cdots (2n_k + 1)$ dir.

$\bullet $ $2\not\mid r$ iken $p_1>2$ olup $2r^2 = 2^1 \cdot p_1^{2n_1}p_2^{2n_2}\cdots p_k^{2n_k}$ dir. Bu halde istenen değer $ (2n_1 + 1)(2n_2 + 1)\cdots (2n_k + 1)$ dir.