Balkan Matematik Olimpiyatı 2022 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$CA \neq CB$ olan dar açılı bir $ABC$ üçgeninin çevrel çemberi $\omega$ ve çevrel çemberinin merkezi de $O$ olsun. $t_A$ ve $t_B,\ \omega$'nın sırasıyla $A$ ve $B$ noktalarındaki teğetleri olsun ve bu teğetler $X$ noktasında kesişsin. $O$ noktasından $CX$ doğru parçasına indirilen dikmenin ayağı $Y$ olsun. $C$'den $AB$'ye çizilen paralel $t_A$'yı $Z$'de kestiğine göre, $YZ$ doğrusunun $AC$ doğru parçasının orta noktasından geçtiğini ispatlayınız.

(İngiltere)

[geo]

$XC$ ile $\omega$ ikinci kez $D$ noktasında keşissin.
$YZ$ ile $AC$, $E$ noktasında keşissin.

$ABX$ çemberinin çapı $OX$ tir. $\angle OYX = 90^\circ$ olduğu için $Y \in (ABX)$.

$\angle XYA = \angle XBA = \angle ACB  = \angle XAB = \angle AZC$ olduğu için $AYCZ$ kirişler dörtgenidir.

$\angle ADC = \angle ABC = \angle CAZ = \angle CYZ$ olduğu için $YZ \parallel DA$, dolayısıyla da $CY = YD$ olduğu için $CE=EA$ olacaktır.