2002 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 2 Soru 5

[matematikolimpiyati]

Bir $ABC$ üçgeninde $|BC|>2|AB|$ eşitsizliği sağlansın. Sadece pergel ve cetvel kullanarak, $[AC]$ kenarı üzerinde,
$$|AB|+|BD|+|DA|=|BC|$$
eşitliğini sağlayan $D$ noktasının yerini bulunuz.

NOT: Cetvel uzunluk ölçmeye değil, yalnızca herhangi iki noktadan geçen doğruyu çizmeye yarar.

[geo]

Bilgi: $PQR$ üçgeninin $P$ ye karşı çizilen dış teğet çemberi $PQ$ ya $T$ de değsin. $PT$ uzunluğu üçgenin yarıçevresi kadardır.

Doğru parçasının orta dikmesini çizme yöntemini kullanarak bir çözüm verelim.

$X$ ve $Y$ verilen iki nokta olsun.$X$ merkezli $XY$ yarıçaplı çember ile $Y$ merkezli $YX$ yarıçaplı çember $M$ ve $N$ noktalarında kesişsin. $MN$ $AB$ ye ait orta dikme doğrusudur.

• Pergelin ucunu $BC=a$ kadar aç.
• $A$ merkezli $a$ yarıçaplı çember $[AB$ ışınını $E$ de, $[AC$ ışınını $F$ kessin.
• $AE$ nin ve $AF$ nin orta dikmeleri $G$ de keşissin.
• $AE$ nin orta dikmesi $[AB$ yi $H$ de kessin.
• $B$ merkezli $BH$ yarıçaplı çemberle, $G$ merkezli $GH$ yarıçaplı çember $T$ noktasında keşissin.
• $[BT$ ışını $AC$ yi $D$ noktasında kessin.
• $AB+BD+DA = 2AE = 2AF = BC$ dir.

Bu sayfada pergel ve cetvelle yapılabilen bazı çizimler yer alıyor. Bunları kullanarak da farklı çözümler yapılabilir.

[geo]

• $A$ merkezli $BC$ yarıçaplı çember $AC$ yi $E$ de kessin.
• $E$ merkezli $AB$ yarıçaplı çember $AC$ yi $F$ de kessin. $AF = BC - AB$ dir.
• $BF$ nin orta dikmesi $AC$ yi $D$ de kessin. $AD+BD=AD+DF=AF=BC-AB$ olur.