2000 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1 Soru 3

[matematikolimpiyati]

Her biri $100$'ü aşmayan $10$ farklı pozitif tam sayının oluşturduğu kümenin boş olmayan ve ayrık öyle iki alt kümesi vardır ki, bu alt kümelerden birindeki sayıların toplamı diğerindeki sayıların toplamına eşittir; ispat ediniz.

[Metin Can Aydemir]

Her biri $n$'yi aşmayan $k$ farklı pozitif tam sayının oluşturduğu kümeyi ele alalım. Bu kümenin boş olmayan $2^k-1$ tane altkümesi vardır. Bu kümedeki elemanların toplamı ise $1$ ile $(n-9)+(n-8)+\cdots+n=10n-45$ arasında değişmektedir. Eğer $2^k-1>10n-45$ ise güvercin yuvası ilkesi gereğince elemanları toplamı aynı olan iki adet boş olmayan farklı alt küme vardır. Bunlara $A$ ve $B$ diyelim. $A$ ve $B$ farklı ve elemanları toplamı eşit olduğundan $A\cap B\neq A,B$'dir. Bu durumda eğer $A-(A\cap B)$ ve $B-(A\cap B)$ kümelerini alırsak, hala elemanları toplamı eşit, ayrıca ayrık olan iki tane boş olmayan küme elde ederiz. Soruda da $k=10$ ve $n=100$ verilmiştir. $$2^{10}-1>10\cdot 100-45$$ sağladığından istenilen şartı sağlayan altkümeler vardır.