$10$ birim uzunluğunda bir doğru parçasına $1$ birimden daha az uzaklıkta olan noktalar kümesi, doğru parçasının uç noktalarına, merkezi bu uç noktalar olan $1$ birim yarıçaplı çember çizilip, bu iki çemberin teğetlerinin çizilmesiyle oluşan kenarları yumuşatılmış, dikdörtgenimsi bir şekil olacaktır. Bu şeklin uzunluğu $10+1+1=12$ birim, genişliği ise $1+1=2$ birim olacaktır. Bu şekli kapsayan en küçük dikdörtgen $12\times 2$'lik bir dikdörtgendir. Eğer $100\times 100$'lük kareyi bu dikdörtgenlere bölersek, bir kenarda $50$ tane diğer kenarda $\left\lfloor \frac{100}{12}\right\rfloor=8$ parça oluşacağından $50\cdot 8=400$ tane parça elde etmiş oluruz. Karenin kalan $4\times 100$'lük kısmına da $2\cdot 8=16$ tane parça yerleştirirsek $416$ tane parça elde etmiş oluruz. Her parçanın merkezindeki doğru parçaları en az bir çemberi kesmelidir. Dolayısıyla "dikdörtgenimsi" şekilin içine en az bir çemberin merkezi düşmelidir. Buradan en az $416$ çember olması gerektiğini görürüz.
Not: Yukarıdaki çözüm, orijinal çözümdür. Ancak soruda "en az bir daire ile en az bir ortak noktaya sahip" denilmesinden dolayı çemberlerin bu doğrulara teğet olabileceği sonucu çıkartılabilir. Bu durumda eğer çemberin merkezi belirtilen şeklin içinde değil de tam kenarının üzerinde ise aynı çember birden fazla doğru ile aynı anda kesişebilir. Bu da bu şekildeki çemberleri birden fazla defa saydığımız anlamına gelir. Bunun önüne geçmek için bence başka parçalamalar yaparak sınırda bulunabilecek çemberlerin çelişki çıkaracağını göstermeliyiz veya soru hatalıdır ve bazı çemberlerin merkezini tam sınırlarda seçerek daha az çember yerleştirebiliriz.
