1999 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 3 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$x^7+y^7=x^4+y^4$ denklemini sağlayan tüm $(x,y)$ reel sayı ikililerini bulunuz.

[Metin Can Aydemir]

Sorunun orijinali bu şekilde mi acaba? Elimde orijinal kaynak olmadığından dolayı kontrol edemiyorum ama çözüm olan sonsuz adet $x$ ve $y$ değerleri arasında bir ilişki göremedim. Eğer herhangi bir $y=y_0$'ı sabitlersek, $$P(x)=x^7-x^4+(y_0^7-y_0^4)$$ polinomunun derecesi tek olacağından kesin bir kökü olacaktır, bu kökün $y_0$ ile direk bağlantısını göremedim ($x=y_0$ veya $x=1-y_0$ gibi). $y_0$'ın bulunduğu aralıklara göre $P$'nin $1,2,3$ de kökü olabilir, yani tek bir $x$ çözümü de gelmek zorunda değil. Dolayısıyla soruda bir şeyler eksik gibi. Belki tamsayı çözümleri soruyordur?

[geo]

$x=0$ ise, $$y^7 = y^4 \Rightarrow y^4(y^3-1)=0 \Rightarrow y \in \{0,1\}.$$
$x \neq 0$ ise, $\frac yx = t$ diyerek, $$x^7(1+t^7)=x^4(1+t^4)$$ elde ederiz. $y \neq -x$ olduğundan $t \neq -1$ ve böylece, $$x^3 = \dfrac {1+t^4}{1+t^7}$$ ve buradan, $$x = \sqrt[3]{\dfrac {1+t^4}{1+t^7}}, \quad y = tx = t \cdot \sqrt[3]{\dfrac {1+t^4}{1+t^7}}$$ olur. O halde denklemin çözüm kümesi $$\{(0,0), (0,1)\} \cup \left \{ \left (\sqrt[3]{\frac {1+t^4}{1+t^7}}, t \cdot \sqrt[3]{\frac {1+t^4}{1+t^7}} \right ) : t \in \mathbf R \backslash \{-1\} \right \} $$ dir.

Kaynak: Matematik Dünyası, Yıl 1999, Sayı 3, Sayfa 25.