1999 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1-2 Soru 5

[matematikolimpiyati]

Merkezi $O$ ile gösterilen bir çember içinde bir $C$ noktası alınıyor ve $OC$ doğrusuna paralel olan herhangi bir $[AB]$ kirişi çiziliyor. $|AC|^2+|BC|^2$ toplamının, $[AB]$ kirişinin seçiminden bağımsız olduğunu ispatlayınız.

[geo]

Çemberin yarıçapı $r=\text{Sabit}$ ve $OC=c = \text {Sabit}$ olsun.

$A$ nın $OC$ doğrusuna göre simetriği $D$ olsun. $\angle BAD = 90^\circ$ olduğu için $BD$ çaptır, yani $O$ dan geçer.
$\triangle BCD$ de kenarortay teoreminden $AC^2 + BC^2 = DC^2 + BC^2 = 2(BO^2 + CO^2) = 2(r^2 + c^2) = \text {Sabit}$tir.

[geo]

Çember $O(0,0)$ merkezli $r$ yarıçaplı, $C(c, 0)$, $A(x,y)$ olsun. $B(-x,y)$ ve $x^2 + y^2 = r^2$ olacaktır.

$C$ nin $A$ ve $B$ ye uzaklıklarının karelerini toplarsak $AC^2 + BC^2 = (x-c)^2 + y^2 + (x+c)^2 + y^2 = 2x^2 + 2y^2 + 2c^2 = 2r^2 + 2c^2 = \text {Sabit}$ elde ederiz.