1998 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 3 Soru 5

[matematikolimpiyati]

$ABCD$ konveks (dışbükey) dörtgeninin $[BC]$ ve $[CD]$ kenarlarının orta noktaları, sırasıyla $P$ ve $N$ olsun. Eğer
$$|AP|+|AN|=d$$
ise $ABCD$ dörtgeninin alanının $\dfrac{1}{2}d^2$ değerinden küçük olduğunu gösteriniz.

[Metin Can Aydemir]

$[AC]$ köşegenini çizersek, $ABCD$ dörtgeninin alanının $APCN$'nin alanının iki katı olduğunu kolayca görebiliriz. Dolayısıyla $APCN$ dörtgeninin alanının $\frac{d^2}{4}$'den küçük olduğunu göstermek yeterlidir. $S(PCN)=S_1$ ve $S(APN)=S_2$ olsun. $S(ABCD)=2S_1+2S_2$ olmasının yanında $S(BCD)=4\cdot S(PCN)=4S_1$ olduğundan $S(ABD)=2S_2-2S_1$ elde edilir. Dolayısıyla $S_2>S_1$ olmalıdır.

$APCN$ dörtgeninin alanının $\frac{d^2}{4}$'den küçük olduğunu göstermek için $APN$ üçgeninin alanının $\frac{d^2}{8}$'den küçük veya eşit olduğunu göstermek yeterlidir çünkü $$S(APCN)=S(APN)+S(PCN)<2\cdot S(APN)\leq \frac{d^2}{4}$$ olduğunu göstermiş oluruz ve soru biter. $m(\widehat{PAN})=\alpha$ olsun. Bu durumda $$S(APN)=\frac{1}{2}|AP||AN|\cos{\alpha}\leq \frac{1}{2}|AP||AN|\leq \frac{1}{2}\left(\frac{|AP|+|AN|}{2}\right)^2=\frac{d^2}{8}$$ elde edilir ve soru biter.