1998 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 3 Soru 4

[matematikolimpiyati]

Bir koridorun, boyutları $2 \times 11\ m$ olan dikdörtgen biçimindeki tabanı, boyutları $1 \times 2\ m$ olan aynı tür halılarla, halılar birbirinin herhangi bir kısmını örtmeksizin, kaplanmak isteniyor. Bu iş kaç farklı biçimde yapılabilir?

[Metin Can Aydemir]

$2\times n$'lik tabanı örtmeye çalışalım. Tabanın en sonundaki halı $1$ adet ve dikey olabilir veya $2$ adet yatay olabilir. Dikey olanda kalan kısmı $a_{n-1}$ şekilde, yatay olanda $a_{n-2}$ farklı şekilde yerleştirebiliriz. Dolayısıyla $a_n$ farklı yerleştirme yapılabilirse, $$a_n=a_{n-1}+a_{n-2}$$ olacaktır. $a_1=1$ ve $a_2=2$ olduğundan, $$a_3=3\to a_4=5\to a_5=8\to a_6=13\to a_7=21\to a_8=34\to a_9=55\to a_{10}=89\to a_{11}=144$$ olacağından $144$ farklı şekilde halıları dizebiliriz.