1998 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 3 Soru 3

[matematikolimpiyati]

$x,y,z$ reel sayılar ve $x \geq y \geq z > 0$ ise
$$\dfrac{x^2-y^2}{z}+\dfrac{z^2-y^2}{x}+\dfrac{x^2-z^2}{y} \geq 3x-4y+z$$
olduğunu kanıtlayınız.

[Metin Can Aydemir]

$x\geq y\geq z>0$ olduğundan $$\frac{x+y}{z}\geq 2,\quad\quad \frac{z+y}{x}\leq 2, \quad\quad \frac{x+z}{y}\geq 1$$ olacaktır. $x-y\geq 0$, $z-y\leq 0$ ve $x-z\geq 0$ olduğundan $$\frac{x^2-y^2}{z}\geq 2(x-y)$$ $$\frac{z^2-y^2}{x}\geq 2(z-y)$$ $$\frac{x^2-z^2}{z}\geq x-z$$ olur ve taraf tarafa toplarsak, $$\dfrac{x^2-y^2}{z}+\dfrac{z^2-y^2}{x}+\dfrac{x^2-z^2}{y} \geq 3x-4y+z$$ elde edilir. Eşitlik durumu için $x=y=z$ olmalıdır.