$i$ tane çokgen tarafından örtülen bölgelere $A_i$, alanları toplamına $S_i$ diyelim. $i\neq j$ ise $A_i$ ile $A_j$ bölgeleri kesişmeyecektir. Ayrıca çokgenler çizdiğimizden dolayı $A_i$ bölgeleri de bir veya birden fazla çokgenden oluşan bölgeler olacaktır. Toplam alan, kesişimlerde tekrarlanan bölgelerin alanlarını da hesaba katarsak, $$1997,5=\sum_{i=1}^{1998} iS_i=1998S_{1998}+\sum_{i=1}^{1997}iS_i\leq 1998S_{1998}+1997\sum_{i=1}^{1997}S_i$$ olacaktır. $S_i$ alanlarının toplamı, çokgenler kare dışına taşmadığı için $1$'den az olmalıdır. Bu durumda, $$1997,5\leq 1998S_{1998}+1997\sum_{i=1}^{1997}S_i\leq 1998S_{1998}+1997(1-S_{1998})\implies S_{1998}\geq \frac{1}{2}>0$$ elde edilir. Yani $1998$ çokgenin hepsi tarafından örtülen bölgenin alanı $0$'dan büyüktür. Bu bölgenin elemanı olan herhangi bir nokta da $1998$ tane çokgen tarafından örtülmüş olur.
Not: Bu soru için gereksiz olsa da eşitlik durumunu bulmanın (varsa) hoş olacağını düşünüyorum. $S_{1998}=\frac{1}{2}$ olması için tüm eşitlik durumlarının sağlanması gerekir. Tüm kare kaplanmalıdır ve $S_1=S_2=\cdots=S_{1996}=0$ olmalıdır. Sonuç olarak $S_{1998}=S_{1997}=\frac{1}{2}$ olmalıdır. Bunu da $1997$ tane kenarları ana karenin kopyası çokgen ve $1$ tane $\frac{1}{2}$ alanlı çokgen ile elde edebiliriz. Yani $S_{1998}$ için elde ettiğimiz $\frac{1}{2}$ alt sınırı daha fazla iyileştirilemez.
