1998 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 3 Soru 1

[matematikolimpiyati]

Herhangi üç tek doğal sayı verildiğinde öyle dördüncü tek doğal sayı bulunabilir ki, bu dört sayının kareleri toplamı bir tamkare (yani, bir doğal sayının karesi) dir; kanıtlayınız.

[Metin Can Aydemir]

Elimizde $a,b,c$ tek sayıları olsun. Bizim ispatlamamız gereken, öyle bir $d$ tek doğal sayısı vardır ki $a^2+b^2+c^2+d^2$ tamkaredir. $a,b,c$ tek olduğundan $a^2+b^2+c^2$ de tektir ve $a^2+b^2+c^2\geq 3$'dür. Dolayısıyla $a^2+b^2+c^2=2m+1$ olacak şekilde bir $m\in\mathbb{Z}^+$ vardır. $a,b,c$ tek olduğundan $$a^2+b^2+c^2\equiv 1+1+1\equiv 3\pmod{4}\implies m\equiv 1\pmod{2}$$ elde edilir. Dolayısıyla $d=m$ olarak seçebiliriz. Buradan da $a^2+b^2+c^2+d^2=(m+1)^2$ elde edilir.