1998 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1-2 Soru 4

[matematikolimpiyati]

Kenar uzunluğu $1cm$ olan bir $ABC$ eşkenar üçgeninin $[AB]$ kenarı üzerinde rastgele bir $D$ noktası alınıyor. $D$'nin $[AC]$ ve $[BC]$ üzerine dik izdüşümleri, sırasıyla $E$ ve $F$; $E$ ve $F$'nin $[AB]$ üzerine dik izdüşümleri, sırasıyla $E_1$ ve $F_1$ olsun.
$$|E_1F_1|=\dfrac{3}{4}cm$$
olduğunu gösteriniz.

[geo]

$\triangle BFD$ bir $30^\circ-60^\circ-90^\circ$ üçgenidir.
Öklit bağıntılarından (benzerlikten ya da trigonometriden) $BF_1/F_1D=1/3$. Biraz düzenlemeyle $F_1D=\dfrac 34 \cdot BD$.
Benzer şekilde $DE_1=\dfrac34 \cdot DC$.
Taraf tarafa toplarsak $F_1E_1  = \dfrac34 \cdot BC$.