1998 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Lise 1-2 Soru 2

[matematikolimpiyati]

Yarıçapı $1$ cm olan bir çember üzerinde rastgele $100$ tane nokta işaretlenmiştir. Çember üzerinde, bütün işaretlenmiş noktalara olan uzaklıkları toplamı $100$ cm'den büyük olacak şekilde en az bir noktanın bulunduğunu gösteriniz.

[geo]

$i=1,2,\dots , 100$ olmak üzere çember üzerindeki noktalar $P_i$ olsun. $A$ ve $B$, $P_i$ noktalarından farklı olmak üzere $AB$ çemberin çapı olacak şekilde seçilmiş iki nokta olsun.
Üçgen eşitsizliğinden
$$200 = \sum_{i=1}^{100} AB < \sum_{i=1}^{100} (AP_i + P_iB) = \sum_{i=1}^{100}AP_i + \sum_{i=1}^{100}BP_i$$ elde ederiz. Ya $A$ noktasının  tüm $P_i$ lere uzaklıkları toplamı ya da $B$ noktasının  tüm $P_i$ lere uzaklıkları toplamı $100$ den büyüktür.