Gönderen Konu: 1996 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 3  (Okunma sayısı 1480 defa)

Çevrimdışı matematikolimpiyati

  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.562
  • Karma: +4/-0
1996 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 3
« : Mart 22, 2023, 03:20:01 öö »
$2$'den büyük bir $x$ reel sayısı verilmiş olsun. Osman, $1997$ tane etiketin her biri üzerine, farklı etiketlere farklı sayılar yazmak koşuluyla, $1,x,x^2,x^3,...,x^{1995},x^{1996}$ sayılarından birini yazıyor. Sonra bu etiketlerden bir kısmını sağ cebine, bir kısmını sol cebine koyuyor ve kalanları da çöp kutusuna atıyor. Osman'ın sağ cebindeki sayıların toplamı ile sol cebindeki sayıların toplamının asla birbirine eşit olamayacağını kanıtlayınız.

Çevrimiçi Metin Can Aydemir

  • G.O Genel Moderator
  • Geo-Maniac
  • ********
  • İleti: 1.322
  • Karma: +9/-0
Ynt: 1996 Antalya Matematik Olimpiyatı 2. Aşama Soru 3
« Yanıtla #1 : Mayıs 01, 2023, 01:28:32 öö »
Aksini varsayalım. Osman'ın cebindeki sayıların toplamı eşit olsun. $x^{1996}$'nın olmadığı cebi ele alalım. Bu cepteki sayıların toplamı $S$ ise $$S\leq 1+x+x^2+\cdots+x^{1995}=\frac{x^{1996}-1}{x-1}$$ olacaktır. Diğer cepte de $x^{1996}$ olduğundan $S\geq x^{1996}$'dır. Buradan $$x^{1996}\leq \frac{x^{1996}-1}{x-1}\implies x^{1997}-x^{1996}\leq x^{1996}-1$$ $$\implies x^{1997}-2x^{1996}+1\leq 0$$ elde edilir. $x> 2$ olduğundan $x^{1997}>2x^{1996}$ olmalıdır. Buradan da $$1<x^{1997}-2x^{1996}+1\leq 0$$ çelişkisi elde edilir. Dolayısıyla böyle bir durum mümkün değildir.
Gerçek hikayeler aslında söylenmeyenlerdir.

 


Sitemap 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 
SimplePortal 2.3.3 © 2008-2010, SimplePortal