Dairesel Eşitsizlik $\sum_{cyc}\frac{x_1^2}{x_2 - c}$ {çözüldü}

[Lokman Gökçe]

Problem [Lokman GÖKÇE]: $c$ bir pozitif gerçel sabit ve $x_1,x_2,\dots, x_n>c$ gerçel değişkenler olmak üzere

$$ \sum_{cyc}\dfrac{x_1^2}{x_2 - c} = \dfrac{x_1^2}{x_2 - c} +  \dfrac{x_2^2}{x_3 - c} + \cdots  + \dfrac{x_{n-1}^2}{x_n - c}+ \dfrac{x_n^2}{x_1 - c}$$

toplamının alabileceği en küçük değeri $n$ ve $c$ türünden belirleyiniz.

[Lokman Gökçe]

Çözüm: Sedrakyan'ın faydalı eşitsizliğinden

$$ \sum_{cyc}\dfrac{x_1^2}{x_2 - c} = \dfrac{x_1^2}{x_2 - c} +  \dfrac{x_2^2}{x_3 - c} + \cdots  + \dfrac{x_{n-1}^2}{x_n - c}+ \dfrac{x_n^2}{x_1 - c} \geq \dfrac{(x_1 + x_2 + \cdots  + x_n)^2}{(x_1 + x_2 + \cdots  + x_n) - cn} $$
yazılır. Şimdi, $x_1 + x_2 + \cdots  + x_n = x$ dersek, $x>nc$ olduğunu da göz önünde bulundurarak

$$ \dfrac{(x_1 + x_2 + \cdots  + x_n)^2}{(x_1 + x_2 + \cdots  + x_n) - cn} = \dfrac{x^2}{x-cn} = \dfrac{x^2 - (cn)^2}{x-cn} + \dfrac{(cn)^2}{x-cn} = 2cn + (x-cn) +  \dfrac{(cn)^2}{(x-cn)}  $$

eşitliğini yazabiliriz. Aritmetik-geometrik ortalama eşitsizliğinden, $$ (x-cn) +  \dfrac{(cn)^2}{(x-cn)} \geq 2 \sqrt{(x-cn) \cdot  \dfrac{(cn)^2}{(x-cn)} } = 2cn $$
olduğundan,
$$ \sum_{cyc}\dfrac{x_1^2}{x_2 - c} \geq 4cn$$
elde edilir. Eşitlik durumu $x_1 = x_2 = \cdots = x_n = 2cn$ iken sağlanır. Böylece en küçük değer $4cn$ olarak elde edilir.