Balkan Matematik Olimpiyatı 1989 Soru 4

[matematikolimpiyati]

$\mathcal{F}$ kümesi, $\{1,2,...,n\}$ kümesinin bazı alt kümelerinden oluşan bir aile olsun ve aşağıdaki şartları sağlasın:

     $\textbf{(i)}$  $A \in \mathcal F$ ise $A,\ 3$ elemanlıdır.

    $\textbf{(ii)}$  $\mathcal F$'te bulunan birbirinden farklı $A$ ve $B$ kümelerinin kesişimleri en çok $1$ elemandan oluşur.

$\mathcal F$'nin eleman sayısının alabileceği en büyük değer $f(n)$ olmak üzere$,\ \dfrac{n^2-4n}{6} \leq f(n) \leq \dfrac{n^2-n}{6}$ olduğunu ispatlayınız.

(Romanya)