Balkan Matematik Olimpiyatı 1989 Soru 1

[matematikolimpiyati]

$k \geq 4$  olmak üzere$,$  bir $n$ pozitif tam sayısının bölenleri   $1=d_1<d_2< ... <d_k=n$  olsun. 

                $n=d_1^2 + d_2^2 + d_3^2 + d_4^2$

şartını sağlayan tüm $n$  değerlerini bulunuz.

(Bulgaristan)

[Metin Can Aydemir]

Eğer $n$ tek sayısıysa tüm bölenleri de tektir. Yani $d_1,d_2,d_3,d_4$ tek olacaktır ama bu durumda da $n=d_1^2+d_2^2+d_3^2+d_4^2$ çift olur. Çelişki elde ederiz. Şartı sağlayan tek sayı yoktur.

Eğer $n$ çiftse $d_2=2$'dir. Dolayısıyla $n=5+d_3^2+d_4^2$ olacaktır. $n$ sayısı $4$'e bölünemez çünkü $d_3^2+d_4^2$ sayısı $4$'e bölününce $3$ kalanı veremez. Yani $4$ bir bölen değildir. Dolayısıyla $d_3=p$ şeklinde bir tek asal sayı olmalıdır. $n=5+p^2+d_4^2$ olacağından $d_4$ çifttir ama $1,2,p$'den hemen sonra geldiğinden $d_4=2p$ olmalıdır. Sonuç olarak $n=5+5p^2$ olur ve $5\mid n$ olduğu sonucu çıkar. Eğer $p\neq 5$ ise $d_4>5$ olacağından çelişki elde ederiz. Yani $p=5$ ve $\boxed{n=130}$ bulunur.