Cevap: $\boxed{D}$
Soruyu daha matematikçe yazarsak, bizden $100>a>0$ ve $a^{12}\equiv 13\pmod{23}$ olan $a$ tamsayılarının sayısı isteniliyor ($100$'den küçük pozitif tamsayılar denmesi gerektiğini düşünüyorum, aksi takdirde cevap ya $0$ ya da sonsuz çıkacaktır).
$a$'nın $23$ ile aralarında asal olduğunu görebiliriz. Eğer $a$, $23$ modunda bir karekalansa $$a^{\frac{23-1}{2}}\equiv a^{11}\equiv 1\pmod{23}\implies a^{12}\equiv a\equiv 13\pmod{23}$$ olacaktır. Şimdi $13$'nün karekalan olup olmadığına bakalım. $\left(\frac{a}{p}\right)$ ile Legendre sembolünü gösterelim. Bu durumda $$(-1)^{\frac{13-1}{2}\frac{23-1}{2}}=1=\left(\frac{13}{23}\right)\left(\frac{23}{13}\right)=\left(\frac{13}{23}\right)\left(\frac{-3}{13}\right)=\left(\frac{13}{23}\right)\left(\frac{3}{13}\right)\left(\frac{-1}{13}\right)$$ $$=\left(\frac{13}{23}\right)\left(\frac{16}{13}\right)\left(\frac{-1}{13}\right)=\left(\frac{13}{23}\right)\left(\frac{-1}{13}\right)$$ $13\equiv 1\pmod{4}$ olduğundan $\left(\frac{-1}{13}\right)=1$'dir. Buradan da $\left(\frac{13}{23}\right)=1$ bulunur. Yani $a\equiv 13\pmod{23}$ bir çözümdür.
Eğer $a$ bir karekalan değilse $$a^{11}\equiv -1\pmod{23}\implies a^{12}\equiv -a\equiv 13\pmod{23}\implies a\equiv -13\pmod{23}$$ elde edilir. $13$'ün karekalan olduğunu biliyoruz. $23\equiv 3\pmod{4}$ olduğundan $-1$ karekalan değildir. Dolayısıyla $-13$ de karekalan değildir. Buradan $a\equiv 10\pmod{23}$ çözümü bulunur.
$100$'den küçük ve $a\equiv 10,13\pmod{23}$ olan sayılar $\{10,13,33,36,56,59,79,82\}$'dür ve $8$ tane vardır.
