Balkan Matematik Olimpiyatı 1984 Soru 2

[matematikolimpiyati]

$ABCD$  kirişler dörtgeninde  $H_A,H_B,H_C$ ve $H_D$  sırasıyla $BCD,CDA,DAB$ ve $ABC$ üçgenlerinin diklik merkezleri olsun. $ABCD$ ve $H_AH_BH_CH_D$  dörtgenlerinin eş olduklarını gösteriniz.

(Romanya)

[geo]

$ABCD$ kirişler dörtgeninin çevrel merkezi $O$ olsun.
$AD$ nin orta noktası $M$ olsun.
$2\cdot OM = BH_C = CH_B$ olacaktır.
$BH_C \parallel CH_B$ olduğu için $BCH_BH_C$ bir paralelkenardır. Bu da aynı zamanda $BC = H_BH_C$ olduğu anlamına gelir.
Benzer şekilde $ABH_AH_B$ bir paralelkenardır. $AB=H_AH_B$.
$AB \parallel H_AH_B$ ve $BC \parallel H_BH_C$ olduğu için bu dört doğru bir paralelkenar oluşturur. Bu durumda $\angle ABC = \angle H_AH_BH_C$ olacaktır.
Yukarıda $B$ köşesi için yaptığımız işlemleri diğer köşeler için de yaparsak $ABCD$ dörtgeni ile $H_AH_BH_CH_D$ dörtgeni açıları ve kenarları eş iki dörtgen olur.