Çevrel Merkezin Kenarlara Uzaklığı

[geo]

Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezinin kenarlara uzaklığı $1$, $1$ ve $2$ ise bu üçgenin

• alanı
• çevrel çemberinin yarıçapı
• iç teğet çemberinin yarıçapı

nedir?

[Metin Can Aydemir]

Simetriden dolayı üçgenin ikizkenar olacağı barizdir. Bu sorunun çözümünde tanımladığım koordinat sistemini tanımlayalım ama $A$ noktasını tepe noktası olarak seçelim. Orijin $M$ için $A(0,a)$, $B(-b,0)$ ve $C(c,0)=C(b,0)$ olsun. Bu durumda çevrel çemberin merkezinin koordinatı $O(0,2)$ veya $O(0,-2)$ olacaktır. Aynı zamanda $O\left(\frac{c-b}{2},\frac{a^2-bc}{2a}\right)=O\left(0,\frac{a^2-b^2}{2a}\right)$ olduğundan $a^2-4a=b^2$ veya $a^2+4a=b^2$ elde edilir.

Eğer $O(0,2)$ ise $[AC]$'nin orta noktasının koordinatı $D\left(\frac{b}{2},\frac{a}{2}\right)$ olacağından $$1=|OD|=\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}-2\right)^2}\implies b^2+(a-4)^2=(a-4)^2+a^2-4a=4\implies a^2-6a+6=0\implies a=\frac{6\pm \sqrt{12}}{2}=3\pm \sqrt{3}$$ $b^2=a^2-4a$ pozitif olması gerektiğinden $a=3+\sqrt{3}$ ve $b=\sqrt[4]{12}$ bulunur.

Eğer $O(0,-2)$ ise aynı şekilde $$|OD|=1=\sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2+\left(\frac{a}{2}+2\right)^2}\implies (a+4)^2+b^2=(a+4)^2+a^2+4a=4$$ olur ama çözüm gelmez.

Yani üçgenimiz, $A(0,3+\sqrt{3})$, $B(-\sqrt[4]{12},0)$ ve $C(\sqrt[4]{12},0)$ noktalarından oluşan üçgendir.

Alan: $\frac{|MA||BC|}{2}=(3+\sqrt{3})\sqrt[4]{12}$ olur.

Çevrel çemberin yarıçapı: $R=|OA|=(3+\sqrt{3})-2=1+\sqrt{3}$ elde edilir.

İçteğet çemberin yarıçapı: $r=\frac{S}{u}=\frac{2(3+\sqrt{3})\sqrt[4]{12}}{|AB|+|AC|+|BC|}=\frac{2(3+\sqrt{3})\sqrt[4]{12}}{2\sqrt[4]{12}+2\sqrt{(\sqrt[4]{12})^2+(3+\sqrt{3})^2}}=3-\sqrt{3}$ elde edilir.

[geo]

Üçgenimiz $\triangle ABC$, çevrel merkez $O$, $BC$ nin orta noktası $D$, $AC$ nin orta noktası $E$ ve $OD = 2\cdot OE = 2$ olsun.

$O$ dan $AB$ ve $AC$ ye inilen dikmeler eşit olduğu için $AO$, $\angle BAC$ nin açıortayıdır, yani $AB=AC$ dir.
(Üçgenin geniş açılı olamayacağı basit bir açı kenar alıştırmasının sonucundan görülebilir.)

$\angle BAC = 2\alpha$ dersek $\angle DOC = 2\alpha$ ve $\angle ECO = \alpha$ olacaktır.
$OC=R$ dersek $\triangle ODC$ de $\cos 2\alpha = \dfrac 2R$, $\triangle OEC$ de $\sin \alpha = \dfrac 1R$ olacağı için $$\cos 2\alpha = 2\sin \alpha $$ denkleminin çözümünden $R$ yi bulabiliriz. $$1-2\sin^2\alpha = 2\sin \alpha \Longrightarrow 2\sin^2\alpha + 2\sin\alpha - 1 = 0$$
$\sin \alpha = \dfrac{\sqrt {3} - 1}{2} =  \dfrac 1R \Longrightarrow \boxed {R = \sqrt 3 + 1}$ elde edilir.

$\triangle ODC$ de Pisagor'dan $DC^2 = (\sqrt 3 + 1)^2 - 4 = 2 \sqrt 3 \Rightarrow DC = \sqrt {2\sqrt 3} = \sqrt[4]{12}$

$\boxed {[ABC] = AD \cdot DC = (3 + \sqrt 3)\sqrt[4]{12}}$

İç teğet çemberin yarıçapı için Carnot Teoremini kullanalım: $$R+r = 1 + 1 + 2 \Longrightarrow \boxed {r = 4 - R = 4 - (\sqrt 3 + 1) = 3 - \sqrt 3}$$

[geo]

Kenarlara uzaklığı $1, 1, k$ alırsak; denklemimiz $\cos 2\alpha = 1-2\sin^2 \alpha = k \sin \alpha$ oluyor. Bu denklemin çözümü $\sin \alpha = \dfrac {\sqrt {k^2 + 8} - k}{4}$ olur. Bu durumda $R = \dfrac {4}{\sqrt {k^2 + 8} - k}$ elde edilir.

Yeni bir soru soralım:

Kenarlara olan uzaklık $x, y, z$ olduğunda $R$ ne olur?

Benim bulabildiğim kadarıyla $x,y, z$ birbirinden farklı sayılar olduğu zaman $3.$ dereceden bir denklem elde ediliyor. Biri diğerine eşit olduğunda yukarıdaki $2.$ dereceden denklem elde ediliyor.

$3.$ dereceden denklemin basitçe çözülebildiği bir soru:

Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezinin kenarlara olan uzaklıkları $\sqrt 2, 2, \sqrt {10}$ ise üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı nedir?

$3.$ dereceden denklemin tam sayı çözümünün olduğu; ama zor tahmin edilebilen bir soru:

Bir üçgenin çevrel çemberinin merkezinin kenarlara olan uzaklıkları $25, 33, 39$ ise üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı nedir?

Not: Bu sorular için üçgeni dar açılı kabul edebilirsiniz. (Verilen sayılar için geniş açılı üçgen olabilme ihtimalini henüz test etmedim.)

[geo]

Dar açılı $ABC$ üçgeninde $H$ diklik merkezi, $AD$ yükseklik, $AB$ nin orta noktası $M$, $AH=p$, $BH=q$, $CH=r$, $HD=x$ olsun.
$HD \cdot AD = BD \cdot CD$ eşitliğini yazarsak $$\sqrt{q^2-x^2}\sqrt{r^2-x^2}=x(x+p)$$ $$\boxed{2px^3+(p^2+q^2+r^2)x^2-q^2r^2=0}$$ elde ederiz. (Pek güzel görünmese de Wolfram Çözümü)


$AH = 2OM$ eşitliğini kullanalım.
$p=4, q=2\sqrt 2, r=2\sqrt{10}$ için denklem $$x^3+8x^2-40$$ denkleminden biri $x=2$, diğer ikisi negatif sayıdır.
$x=2$ için $BD=2$, $CD=6$. $BM=4$, $OM=2$ ve $\boxed {R=2\sqrt 5}$ elde ederiz. Bu üçgenin çevrel merkezinin kenarlara olan uzaklığı $2, \sqrt 2, \sqrt{10}$ dur.


Çevrel merkezin kenarlara olan uzaklığı $25, 33, 39$ olan soru için bu üçgene $1/2$ oranında benzer üçgeni kullanalım.
$p=33, q=25, r=39$ için denklem $$66 x^3 + 3235 x^2 - 950625 = 0$$ denkleminin köklerinden biri $x=15$, diğer ikisi negatiftir.(Bu denklemin çözümü için Wolfram Alphadan yardım alalım.)
Biraz trigonometriyle $R=65/2$ elde ederiz. Soruda verilen üçgen için genişletirsek $\boxed {R=65}$ çıkar.