2014 Antalya Matematik Olimpiyatı Soru 23

[matematikolimpiyati]

$m^4=n(9m-2n)$  denklemini sağlayan kaç $(m,n)$ tam sayı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 9  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 5  \qquad\textbf{e)}\ 7$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{E}$

$m$ ve $n$'den biri $0$ ise diğeri de sıfırdır. $(0,0)$ dışındaki çözümlere bakalım.

Denklem $m^4+2n^2=9mn$'dir. $m$ ve $n$ aynı işaretlidir. $m$ ve $n$ yerine $-m$ ve $-n$ yazabileceğimizden bunları pozitif tamsayı kabul edebiliriz. Eğer $m\geq 4$ ise $$9mn=m^4+2n^2\geq 2m^2n\sqrt{2}\geq 8mn\sqrt{2}\implies 9\geq 8\sqrt{2}\implies 81\geq 128$$ çelişkisi elde edilir. Yani $m\leq 3$'dür.

$m=3$ ise $81=n(27-2n)$ elde edilir. $n\mid 81$'dir ve bölenleri denersek, $n=9$ bulunur.

$m=2$ ise $8=n(9-n)$ ve bunun çözümünden $n=1$ veya $n=8$ bulunur.

$m=1$ ise $1=n(9-2n)$ elde edilir ancak çözüm yoktur.

Yani $m$ ve $n$'nin pozitif olduğu $3$ çözüm vardır. Negatif olduğu durumda da $3$ çözüm vardır. Toplamda $3+3+1=7$ çözüm vardır.

[AtakanCİCEK]

Yukarıdaki çözüme benzer şekilde $m^4+2n^2=9mn$ denkleminden yola çıkarak genelliği bozmadan $m,n$ pozitif alalım $(0,0)$ hariç ). İfadeyi $2n^2-9mn=-m^4$ olarak yazalım. Burada her iki tarafa $cm^2$  şeklinde bir terim eklersek $$2n^2-9mn+cm^2=-m^4+cm^2$$  olur. Sol tarafı $n/m=t$ tanımlayarak $m^2.(2t^2-9t+c)$  olarak yazabiliriz. $c$ yi diskriminant negatif olacak şekild seçersek bu bize $m$  yi sınırlayacak bir eşitsizlik üretir. Buradan $81-8c<0$ ise $c=11$ seçebileceğimizi görürüz.  Bu durumda $-m^4+11m^2\geq 0$ olması gerektiğinden $-m^2+11\geq 0$ yani $m\leq 3$ elde edilir. Denersek

a) $m=3$ için  $2n^2-27n+81=0$ yani $(2n-9)(n-9)=0$ yani $n=9$ bulunur. $(3,9)$

b) $m=2$ için $n^2-9n+8=0$  yani $(n-1)(n-8)=0$ buradan $n=1$ ve $n=8$ bulunur.  $(2,1),(2,8)$ gelir.

c) $m=1$  için $2n^2-9n+1=0$ gelir. Çözüm bulunmaz.

Bu $3$  çözümün negatifleri de çözüm olduğundan ve $(0,0)$  da hatırlanırsa $3.2+1=7$  çözüm elde edilir.