Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 30

[matematikolimpiyati]

$\quad$


Şekilde $[BE],\ ABC$  üçgeninin bir iç açıortayı$,\ [AD]$  ise bir dış açıortayıdır. $DE$  doğrusu $AB$  doğrusunu $F$  noktasında kesmektedir.

$m(\widehat{ABC})=46^{\circ},\ m(\widehat{ACB})=84^{\circ}$  ise  $m(\widehat{BFC})$  kaç derecedir?

$\textbf{a)}\ 94  \qquad\textbf{b)}\ 92  \qquad\textbf{c)}\ 90  \qquad\textbf{d)}\ 88  \qquad\textbf{e)}\ 84$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$\triangle ABC$ de, $D,E,F$ noktaları için Menelaus uygulayalım. $$\dfrac{AF}{FB}\cdot \dfrac{BD}{DC}\cdot \dfrac{CE}{EA}=1$$
İç açıortay teoreminden $$\dfrac{EA}{CE}=\dfrac{AB}{BC}$$
Dış açıortay teoreminden $$\dfrac{DC}{BD}=\dfrac{AC}{AB}$$ elde edilir. Üç eşitliği taraf tarafa çarparsak $$\dfrac{AF}{FB} =\dfrac{AC}{BC}$$ elde ederiz. Bu da $CF$ nin $\angle ACB$ nin açıortayı olduğu anlamına gelir.
$\angle BFC = 180^\circ - \angle FBC - \angle FCB = 180^\circ - 46^\circ - 42^\circ = 92^\circ$.