Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 34

[matematikolimpiyati]

Bir üçgen, oluşacak üçgenlerin tüm köşelerinde aynı sayıda kenar kesişecek şekilde $n$  üçgene ayrılabiliyorsa $n$  en çok kaç olabilir?

$\textbf{a)}\ 19  \qquad\textbf{b)}\ 15  \qquad\textbf{c)}\ 7  \qquad\textbf{d)}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed A$ veya $\boxed E$

Lisedeyken bu soruyu çözmeye çalıştığımızda, ortaokul kampına katılmış bir arkadaşımız Euler Formülü kullanarak ($v-e+f=2$) bir çözüm yapıp şıklardaki sayılardan birini bulmuştu. (Muhtemelen kampta buna benzer bir soru ile karşılaşmıştı.)
Başka bir arkadaşımız da üst limitin olmadığını göstermişti. Onun örnek çizgesini hatırlayamıyordum. Yıllar sonra hatırlamaya çalışınca aşağıdaki gibi bir çözüm elde etmiştim. Bu şekil, Mustafa Töngemen'in kitabındaki ile aynıydı.

Bu çözümü yazmadan önce, düzlemsel çizgeler (planar graph) ile ilgili benzer bir problem bulabilir miyim diye araştırma yapmıştım. Tam olarak aynısını bulamamıştım.

Bu soru için, hep çizge kuramından bir soru sormak istemişler ama olmamış gibi hissederdim.

One Hundred Problems in Elementary Mathematics, Hugo Steinhaus, 1964 kitabını karıştırırken 16 nolu sorunun bu sorunun aynısı olduğunu fark ettim. Bu kitapta verilen cevap, $19$ idi.

Büyük ihtimalle, resmi cevap anahtarında da bu sorunun cevabı $(a) 19$ idi. Tabii, bu bir iddia.

Aşağıdaki çözümde üçgenin kenarları üzerinde noktalar alınmış. Sorudaki metne göre bu illegal bir hareket mi, bir türlü karar veremedim.


$n$ için üst limit yoktur.

Bir üçgenin kenarorta noktalarını birleştiren üçgeni çizelim. Bu prosedürü sürekli uyguladığımızda ilk üçgenin köşeleri hariç diğer tüm köşelerde $4$ kenar kesişir. (bkz. ilk şekil)

Üçgeni ikinci şekildeki gibi $7$ üçgene ayırdığımızda her köşeden $4$ kenar çıkar. En içteki üçgen yukarıda anlatıldığı gibi kenarorta noktaları üzerinden sınırsız sayıda üçgene ayrılabilir.
Ortaya çıkan şekilde tüm köşelerden $4$ kenar çıkmış oldu.

[geo]

Yanıt: $\boxed A$

One Hundred Problems in Elementary Mathematics, Hugo Steinhaus, 1964 kitabındaki 16 nolu sorunun çözümünden (sayfa 75) yola çıkarak bir çözüm yapacağım.

Kitaptaki çözümde üçgenlerin bir çokyüzlünün (polyhedra) yüzeylerinin izdüşümü olduğu ifade edilmiş. Her köşede aynı sayıda yüz buluşan cisimlere, Platonik Cisim deniyormuş. Yüzeyleri üçgen olan sadece üç tane Platonik Cisim varmış. Bunlar 4, 8 ve 20 yüzlüler imiş. En büyük üçgen, çok yüzlüye tam yukarıdan baktığımızda arkada kalan yüzeyi ifade ettiği için aradığımız yanıt, $20-1=19$.

Wikipedia'daki Platonical Solid makalesinden ilham alarak şöyle bir çözüm de yapabiliriz.

Euler'den $v-e+f=2$.
Her köşeden çıkan kenar sayısına $n$ diyelim.
Kenarlardan yola çıkarak noktaları saymaya çalıştığımızda $2e=nv \Longrightarrow v=\dfrac{2e}n$.
(Sorunun kurgusunun bu olduğundan yola çıkarak) Her kenar, iki yüzey tarafından paylaşılacak. Yüzeylerden kenarları saymaya çalışırsak $3f=2e \Longrightarrow f=\dfrac{2e}{3}$

$\dfrac{2e}n-e+\dfrac{2e}{3}=2 \Longrightarrow e\left ( \dfrac 2n -1+ \dfrac 23\right ) = e\left ( \dfrac 2n -\dfrac 13\right )  = 2 \Longrightarrow 6>n$.

$n=5$ için $e=30$, $v=12$, $f=20$ olur. $f=20$ olduğu için bölge sayısı $19$ olur.