Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 30

[matematikolimpiyati]

$x \in \mathbb R$  için $f_1(x)=x^2-2x$  ve $n \geq 1$  için  $f_{n+1}(x)=f_1(f_n(x))$  bağıntılarıyla  $f_1,f_2,f_3,...$  fonksiyonları tanımlanıyor. 

$f_{1996}$  fonksiyonunun  $[0,2]$  kapalı aralığında alabileceği en küçük ve en büyük değerler aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 0\ \text{ve}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 0\ \text{ve}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ -1\ \text{ve}\ 24  \qquad\textbf{d)}\ -1\ \text{ve}\ 3  \qquad\textbf{e)}\ -1\ \text{ve}\ 0$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$f_1(x)=x^2-2x$ fonksiyonun grafiği aşağıda verilmiştir.

$[0,2]$ aralığında $-1\leq f_1(x)\leq 0$.
$-1\leq f_1(x)\leq 0$ aralığında $0\leq f_2(x)\leq 3$.
$0\leq f_2(x)\leq 3$ aralığında $-1\leq f_3(x)\leq 3$.
$-1\leq f_3(x)\leq 3$ aralığında $-1\leq f_4(x)\leq 3$.
$n\geq 4$ için $-1\leq f_n(x)\leq 3$ olacaktır.

$f_{1996}(1)=3$ olacaktır. En büyük değer bulunmuş oldu.
$f_{1996}(x_0)=-1$ olacak şekilde $0\leq x_0\leq 2$ sayısı var mıdır?
$f_{1995}(x_0)=1$ olmalı.

Yeterince küçük $0<x$ sayıları için $0 < f_1(x) < f_3(x) < \dots < f_{1993}(x) = a < 1$ ve $0 > f_2(x)  > f_4(x) > \dots > f_{1994} = (a-1)^2-1 > -1$ şartları sağlanabilir.
$ f_{1994}(x_0) =1-\sqrt 2$ olacak şekilde $x_0$ seçersek $-1\leq f_{1996}$ en küçük değerine ulaşabilir.
O halde yanıt $(D)$ şıkkıdır.

Aslında $f_{1996}(x)=-1$ denkleminin birçok çözümü vardır.
Aşağıdaki adımlar izlenip bunlardan biri bulunabilir:

$x^2-2x=1 \Rightarrow x = 1\pm \sqrt 2$ olduğu için $f_{1994}(x_0)=1+\sqrt 2$ olabilir.

$f(x)=x^2-2x=(x-1)^2-1$ özdeşliğini kullanırsak hesaplamalarımızı daha kolay yapabiliriz.
$f(x)=(x-1)^2-1=1+\sqrt 2 \Rightarrow x_1= 1 + \sqrt {2+\sqrt {2}}$ olduğu için $f_{1993}(x_0)=1 + \sqrt {2+\sqrt {2}}$.
$f_2(x_0)=1+\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots +\sqrt{2} }}}}_{\text{1993 tane 2}}$

$f(x_0) = 1- \underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots +\sqrt{2} }}}}_{\text{1994 tane 2}}$

$x_0 = 1 \pm \sqrt {2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{\dots +\sqrt{2} }}}}_{\text{1994 tane 2}}}$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{D}$

Verilen fonksiyonu $f_1(x)=(x-1)^2-1$ olarak yazalım. Bu durumda $f_{n+1}(x)=(f_n(x)-1)^2-1$ olacaktır. Bu fonksiyonların hepsi polinom olduğundan sürekli ve türevlenebilirdir. $f_{n+1}(x)$'in minimum ve maksimum değerleri ya $x=0$ ve $x=2$ sınır değerlerinde ya da $f_{n+1}'(x)=0$ lokal ekstremumlarda alınır. $x=0$ ve $x=2$ için $f_{n+1}(x)=0$ olur. $$f_{n+1}'(x)=2f_n'(x)(f_n(x)-1)$$ olacağından lokal ekstremumlar $f_n(x)=1$ veya $f_n'(x)=0$ olduğu $x$ değerlerinde alınır. $f_n'(x)=0$'i de açarsak, $f_{n-1}(x)=1$ veya $f_{n-1}'(x)=0$'a ulaşırız. Bu şekilde ilerlersek, $f_{1996}(x)$'in lokal ekstremumunun $2\leq k\leq 1995$ için $f_k(x)=1$ olduğu noktalarda ve $x=1$'de olduğunu görürüz. $x=1$ için $f_1(1)=-1$, $f_2(1)=3$, $f_3(x)=3$ ve bu şekilde ilerlenince $f_{1996}(1)=3$  bulunur.

$f_k(x)=1$ ise $f_{k+1}(x)=-1$, $f_{k+2}(x)=3$ olur ve $k+2$'den sonra hep $3$ olarak ilerler. Dolayısıyla $k=1995$ haricinde bu değerlerden de hep $f_{1996}(x)=3$ gelir. $k=1995$ için $f_{1996}(x)=-1$'dir. Dolayısıyla eğer $f_{1996}(x)=-1$ veya $f_{1995}(x)=1$ olacak şekilde bir $x$ olduğunu gösterirsek minimum ve maksimum değerlerin $-1,3$ olduğunu göstermiş oluruz. Bu da barizdir çünkü $f_{1995}(0)=0$ ve $f_{1995}(1)=3$'dür. Yani $(0,1)$ aralığında bir $x$ için $f_{1995}(x)=1$ olmalıdır.

Sonuç olarak en küçük değer $-1$, en büyük değer $3$'tür.