Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 26

[matematikolimpiyati]

$m$  ve  $n$  pozitif tam sayılar olmak üzere$,$

        $n+(n+1)+ \cdots + (n+m)=1000$

eşitliğini sağlayan kaç $(m,n)$  sıralı ikilisi vardır?

$\textbf{a)}\ 10  \qquad\textbf{b)}\ 5  \qquad\textbf{c)}\ 3  \qquad\textbf{d)}\ 2  \qquad\textbf{e)}\ 1$

[geo]

Yanıt: $\boxed C$

Biraz düzenlemeyle $(m+1)n + \dfrac {m(m+1)}{2} = \dfrac {(m+1)(2n+m)}{2} = 1000 \Rightarrow (m+1)(2n+m) = 2000 = 2^45^3$ elde edilir.

$m,n$ pozitif tam sayılar olduğu için $1 < m+1 < 2n + m$ olacaktır.

$m$ tek ise $m+1$ çift sayı, $2n+m$ tek sayı olacaktır. $m+1 = 2^4 = 16 \Rightarrow m = 15$ olabilir; ama $2^4\cdot 5 > 5^2$ olduğu için buradan başka çözüm gelmez. $(m,n)=(15, 55)$ bir çözümdür.

$m$ çift ise $m+1$ tek sayı, $2n+m$ çift sayı olacaktır. $m+1 = 5 \Rightarrow m = 4$ ve $m+1 = 5^2 \Rightarrow m = 24$ birer çözümdür. $m+1=1$, $m>0$ olduğu için sağlamaz; $m+1 = 5^3 > 2^4$ olduğu için başka çözüm gelmez. $(m,n)=(4, 198)$ ve $(m,n) = (24, 28)$ diğer iki çözümdür.

O halde toplamda $3$ çözüm vardır.

Not: Mustafa Töngemen'e ait 2008 yılı basımlı Tübitak Matematik Olimpiyatı Soru ve Çözümleri kitabında cevap $(E)$ olarak verilmiştir. Oradaki çözüm hatalıdır.