Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 21

[matematikolimpiyati]

$a_n$  ile $\sqrt{n}$ ye en yakın olan tam sayıyı gösterelim.

             $\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_{2070}}$

toplamı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

$\textbf{a)}\ 93  \qquad\textbf{b)}\ 92  \qquad\textbf{c)}\ 91  \qquad\textbf{d)}\ 90  \qquad\textbf{e)}\ 89$

[geo]

Yanıt: $\boxed D$

$a_{k^2} = k$ ve $a_{(k+1)^2} = k+1$ olacaktır.
Bu durumda $a_1 = 1$, $a_4 = 2$, $a_9 = 3$, $\dots$, $a_{2025} = 45$, $a_{2116} = 46$ olur.

$m, \ell \geq 0$ tam sayılar olmak üzere;
$a_{k^2 + m} = k$ için $\sqrt {k^2 + m} < k + \dfrac 12 \Rightarrow m < \dfrac 14 + k \Rightarrow m < k + 1$

$a_{k^2 - \ell} = k$ için $\sqrt {k^2 - \ell} \geq k - \dfrac 12 \Rightarrow \ell \leq k - \dfrac 14 \Rightarrow \ell < k$

$k^2 - (k-1)$, $k^2 - (k-2)$, $\dots$, $k^2 - 1$, $k^2$, $k^2 + 1$, $\dots$, $k^2 + k$ sayıları için $a_n = k$ olacaktır.  O halde $k + (k - 1) + 1 = 2k$ tane sayı için $a_n = k$ dır.

Dizinin ilk elemanlarına bakarsak bu durumu görebiliriz: $a_1 = a_2 = 1$, $a_3 = a_4 = a_6 = a_7 = 2$, $\dots$
$a_n = 45$ denkleminin en büyük çözümü $45^2 + 45 = 2070$ dir.

$\dfrac{1}{a_1} + \dfrac{1}{a_2} + \cdots + \dfrac{1}{a_{2070}} = \displaystyle \sum_{k=1}^{45} \dfrac {2k}{k} = \displaystyle \sum_{k=1}^{45} 2 = 90$.