Tübitak Lise 1. Aşama 1996 Soru 16

[matematikolimpiyati]

$1^{1!}+2^{2!}+ \cdots + 13^{13!}$  sayısı $13$  ile bölündüğünde kalan aşağıdakilerden hangisidir?

$\textbf{a)}\ 3  \qquad\textbf{b)}\ 2  \qquad\textbf{c)}\ 1  \qquad\textbf{d)}\ 0  \qquad\textbf{e)}\ \text{Hiçbiri}$

[geo]

Yanıt: $\boxed B$

$4! = 12$ olduğu için $n>3$ olmak üzere $12 \mid n!$ dir.
Fermat'ın küçük teoremine göre $(a,13)=1$ olmak üzere $a^{12} = 1 \pmod {13}$.
$1^{1!}+2^{2!}+ 3^{3!}  + 4^{4!}+  \cdots  + 12^{12!}+ 13^{13!} \equiv 1 + 2^2 + 3^6 + 9\cdot 1 + 0 \equiv 1+4 + (3^3)^2 + 9 \equiv 2 \pmod {13}$