Kısa Ve Umulmadık Çözümlü Sorular(Quickies)

[edizalturk]

Bir denklem sorusu.

[Lokman Gökçe]

ben soruyu dikkatli not etmediğimden tamsayılardaki çözümleri buldum 54 tane olacak ... sizin sorunuzda da bunlardan 27 tane (x,y) çifti bütünüyle pozitif tamsayılardan olşuyor ...

[senior]

Hocam, 2008² = 2⁶251² 

[senior]

Herhangi bir dizilim seçelim ve 1. ve 2. satırların yerini değiştirelim. Elde ettiğimiz matris ile bir önceki matrisin determinantları toplamı 0'dır. Bütün matrisleri böyle iki gruba ayırıp birbiriyle eşleştirebiliriz. O zaman bütün determinantlar toplamı 0 olur.
(Determinantlar sorusuna)

[senior]

Soru:
x⁴-5x³-4x²-7x+4 = 0 denkleminin kaç tane negatif kökü vardır?

Çözüm:
x = 0 için f(x) = x⁴-5x³-4x²-7x+4 ifadesi 4'tür. Yani f(0) = 4
Eğer negatif reel bir kökü varsa denklemin ifade en az bir tane x < 0 için 0'dan küçük yada 0'a eşit bir değer vermek zorundadır ki x eksenini kessin. ( f(x) <= 0 , x = c < 0)
Kolaylık olsun diye x yerine -x koyup x'i artıralım ve f(-x) in ne değerler aldığına bakalım.
f(-x) =  x⁴+5x³-4x²+7x+4,
İfadede tek negatif terim -4x² 'ten gelmelidir. Ama
0<x<=1 için -4x² + 4 >= 0 ve diğer değerlerle de f(-x) pozitif olur.
x > 1 için ise  5x³ -4x² > 0 kolayca görülebilir çünkü x > 1 için artık x³ > x²

Çözüm kısa ama anlatım uzun idare edin

[Alimmm78]

ben soruyu dikkatli not etmediğimden tamsayılardaki çözümleri buldum 54 tane olacak ... sizin sorunuzda da bunlardan 27 tane (x,y) çifti bütünüyle pozitif tamsayılardan olşuyor ...

hocam sorunun cevabı 27 mi 18 mi

[Lokman Gökçe]

$(x-2008)(y-2008)=2^6\cdot 251^2$ denklemi incelenirse $2008^2$ sayısının pozitif bölen sayısı $(6+1)(2+1)=21$ dir. O halde denklemin pozitif tam sayılardaki çözüm sayısı da $21$ dir.

[Hüseyin Yiğit EMEKÇİ]

$a,b,c,d\in \mathbf{Z}$ olmak üzere,

$A=2(a-2b+c)^4+2(b-2c+a)^4+2(c-2a+b)^4$
$B=d(d+1)(d+2)(d+3)+1$. Gösteriniz ki

$(\sqrt{A}+1)^2+B$   bir tamkare değildir.

[AtakanCİCEK]

Soru:    $y^2=x^3+1$  denkleminin tam sayılardaki çözümlerini bulunuz. (Mordell'in denklemi)

Çözüm:  Denklemi yeniden yazarsak $y^2-x^3=1$ elde edilir.

a) (Biraz hile gibi olacak ama  )  Pozitif tam sayılar kümesindeki çözümler için   Mihailescu Teoremi'nden  $x^a-y^b=1$  denkleminde $x,y,a,b>1$ için sadece $3^2-2^3=1$  çözümü vardır. Dolayısıyla $y^2-x^3=1$ denkleminin $(x,y)=(2,3)$ hariç çözümleri için $x=1$  veya $y=1$  sağlanmalıdır. Bu durumda da pozitif tam sayılar kümesinde çözüm gelmediği görülebilir. Ayrıca $y^2$  çift derece olduğundan $(2,-3)$ çözümünün de olacağını not ederek devam edelim.

b) $x=0$ ise $y=1$  ve $y=-1$ çözümdür.  $y=0$ ise $x=-1$ çözümdür.

c) Geri kalan durumlarda $x<0$ ve $y\not = 0$ olduğundan yola çıkara $x=-m$  olacak şekilde $m$ pozitif tam sayısı aldığımızda

$y^2-1=-m^3$ olur. $|y|\geq 1$  için  $y^2-1\geq 0$  olduğundan buradan çözüm gelmez.

Çözüm kümemiz $$\{(-1,0),(0,-1),(0,1),(2,-3),(2,3)\}$$


Not: ($2002$) Mihailescu Teoremi'ne (Eski adıyla Catalan's Conjecture) benzer daha genel bir conjecture daha vardır. Henüz aksi örnek verilmemiş olduğunu hatırlıyorum.

Terai'nin Conjecture'ı : $(x,y)=1$ ve $x,y>1$ olmak üzere  $x^a-y^b=n$  denkleminn $n$ sabit bir pozitif tam sayı olmak üzere $x,y,a,b>1$ için maksimum $1$ çözümü vardır . Bu conjecture test sınavlarında faydalı olabilir diye bunu da paylaşmak istedim.