Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 13

[matematikolimpiyati]

$\quad$


Şekilde $F, \ [AC]$ nin orta noktası$,\ D \in [BC]$ ve $\{E\}=[BF] \cap [AD]$ dir.
$|DC|=4|BD|,\ Alan(DCFE)=42$ ise$,\ Alan(ABE)$ ne olur?


$\textbf{a)}\ 21  \qquad\textbf{b)}\ 20  \qquad\textbf{c)}\ 18  \qquad\textbf{d)}\ 15  \qquad\textbf{e)}\ 12$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

Menelaüs teoreminden $\dfrac{|AF|}{|AC|}\cdot \dfrac{|CD|}{|DB|}\cdot \dfrac{|BE|}{|EF|} = 1 $ olup $|EF|=2|BE|$ bulunur. Yine  $\dfrac{|BD|}{|BC|}\cdot \dfrac{|CF|}{|FA|}\cdot \dfrac{|AE|}{|ED|} = 1 $ olup $|AE|=5|ED|$ bulunur. Böylece, $Alan(BDE)=S$ denirse, $Alan(DEF)=2S$, $Alan(ABE)=5S$ olur. Ayrıca $Alan(CDF) = 4\cdot Alan(BDF)$ olduğundan $Alan(CDF)=12S$ olur. Dolayısıyla $Alan(CDEF)=14S=42$ olup $S=3$ elde edilir. Sonuç olarak, $Alan(ABE)=5S=15$ bulunur.