Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 31

[matematikolimpiyati]

Bir $n$ doğal sayısı $48$ e bölündüğünde kalan $47$ oluyor. Aynı sayı $49$ a bölündüğünde kalan yine $47$ dir. Bu $n$ sayısı $42$ ye bölününce kalan ne olur?

$\textbf{a)}\ 5  \qquad\textbf{b)}\ 7  \qquad\textbf{c)}\ 13  \qquad\textbf{d)}\ 24  \qquad\textbf{e)}\ 41$

[Eray]

Cevap: $\boxed5$

Pratik çözüm:
$n=47$ verilen iki şartı sağlamaktadır, $42$ ile bölümünden kalan ise $\boxed5$tir.

Gerçek çözüm:
Verilen bilgiler ışığında $n$ sayısının $\text{ekok}\{48,49\}$ ile bölümünden kalanın $47$ olacağı açıktır. O halde $n=k \cdot \text{ekok}\{48,49\} + 47$ yazabiliriz.
$\text{ekok}\{48,49\}$ sayısı $42$ ile tam bölündüğünden,

$\begin{aligned}
n &= k \cdot \text{ekok}\{48,49\} + 47\\
&= \underbrace{k \cdot \text{ekok}\{48,49\} + 42}_{\text{42 ile tam bölünür}} + 5
\end{aligned}$
sayısının $42$ ile bölümünden kalanın $\boxed5$ olduğu açıktır.