Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 35

[matematikolimpiyati]

$n \leq 15$  olmak üzere$,\ t_1,t_2,...,t_n$ tek sayıları$,$

$t_1^4+t_2^4+ \cdots +t_n^4=1963$ eşitliğini sağlamaktadır.

$n$  kaç olmalıdır?

$\textbf{a)}\ 9  \qquad\textbf{b)}\ 11  \qquad\textbf{c)}\ 12  \qquad\textbf{d)}\ 13  \qquad\textbf{e)}\ 15$

[Metin Can Aydemir]

Cevap: $\boxed{B}$

$t$ tek tamsayısı için $16\mid t^4-1$ olduğunu gösterelim. $t^4-1=(t-1)(t+1)(t^2+1)$ olduğundan ve $t$ tek olduğundan $t-1$ ve $t+1$ sayılarından biri $2$'ye diğeri $4$'e bölünecektir. Ayrıca $t^2+1$ de çift olduğundan $t^4-1$ sayısında en az $4$ tane $2$ çarpanı olacak ve $16$'ya tam bölünecektir. Bu durumda $$t_1^4+t_2^4+\cdots+t_n^4\equiv n\pmod{16}\implies n\equiv 1963\equiv 11\pmod{16}\implies n=11$$ elde edilir. Örnek durum olarak da $t_1=t_2=t_3=5$, $t_4=3$, $t_5=t_6=\cdots=t_{11}=1$ sağlar.