Tübitak Lise 1.Aşama 1995 Soru 23

[alpercay]

$n$ pozitif bir tam sayı olmak üzere $$\{a\in \mathbb N:|\sqrt{a}-n|\lt \dfrac{1}{2}\}$$ kümesinde kaç eleman vardır?

$
\textbf{a)}\ n-1
\qquad\textbf{b)}\ n+1
\qquad\textbf{c)}\ 2n-1
\qquad\textbf{d)}\ 2n
\qquad\textbf{e)}\ n(n+1)
$

[Lokman Gökçe]

Yanıt: $\boxed{D}$

$|\sqrt{a}-n|\leq \dfrac{1}{2} \iff -\dfrac{1}{2} \leq \sqrt{a}-n \leq \dfrac{1}{2} \iff n  -\dfrac{1}{2} \leq \sqrt{a} \leq \dfrac{1}{2} + n \iff n^2 - n + \dfrac{1}{4} \leq a \leq n^2 + n + \dfrac{1}{4} $ olduğundan bu aralıkta $a \in \{ n^2 - n + 1, n^2 - n + 2, \dots, n^2 + n \}$ değerlerinin her birini alabilir. Böylece $a$ nın alabileceği $(n^2 + n) - (n^2 - n +1) + 1 = 2n$ doğal sayı değeri vardır.