Verilen toplama $S$ diyelim.
Buradaki çözümde $$2^{n+3}S=(4+\sqrt{2})^{2n+1}+(4-\sqrt{2})^{2n+1}$$ olduğunu göstermiştik. Öncelikle $S=\sum_{k=0}^n \binom{2n+1}{2k+1}2^{3k}$ toplamına bakarak $S$'nin tek olduğunu rahatlıkla görebiliriz. Dolayısıyla ilk asalımız $2$'dir. Şimdi $(4+\sqrt{2})^{2n+1}=a_n+b_n\sqrt{2}$ diyelim. Buradan $(4-\sqrt{2})^{2n+1}=a_n-b_n\sqrt{2}$ olur ve $2^{n+2}S=a_n$ elde edilir. Eğer $p>2$ asalı için $p\mid S$ ise $p\mid a_n$ olacaktır. Dolayısıyla $$a_n^2-2b_n^2=(4+\sqrt{2})^{2n+1}(4-\sqrt{2})^{2n+1}=14^{2n+1}\implies -2b_n^2\equiv 14\cdot \left(14^n\right)^2\pmod{p}$$ $$\implies b_n^2\equiv -7\cdot \left(14^n\right)^2\pmod{p}$$ Eğer $p=7$ ise $a_n,b_n\equiv 0\pmod{7}$ olur. $$a_{n}+b_{n}\sqrt{2}=(4+\sqrt{2})^2(a_{n-1}+b_{n-1}\sqrt{2})\implies a_n=18a_{n-1}+16b_{n-1}\text{ ve }b_{n}=8a_{n-1}+18b_{n-1}$$ Mod $7$'de incelersek, $$a_{n-1}\equiv 3b_{n-1}\pmod{7}$$ elde edilir ve $a_{n-2},b_{n-2}$ için hesaplarsak yine $a_{n-2}\equiv 3b_{n-2}\pmod{7}$ elde edilir. Yani $a_0\equiv 3b_0\pmod{7}$ veya $a_0\equiv 0\pmod{7}$ olmalıdır fakat böyle değildir. Bu bir çelişkidir. Hiçbir $n$ için $7\mid S$ olamaz.
$p\neq 2,7$ için $$\left(\frac{b_n}{14^n}\right)^2\equiv -7\pmod{p}$$ olur, yani $-7$ karekalandır. Legendre sembolü ile gösterirsek, $$\left(\frac{-7}{p}\right)=\left(\frac{-1}{p}\right)\left(\frac{7}{p}\right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}}\left(\frac{7}{p}\right)=(-1)^{\frac{(p-1)(7-1)}{4}}\left(\frac{7}{p}\right)=\left(\frac{p}{7}\right)$$ Yani $p\equiv 1,2,4\pmod{7}$ olmalıdır. Dolayısıyla aşağıdaki asallar için kesin olarak çelişki elde ederiz. $$2,3,5,7,13,17,19,31,41,47,\dots\tag{1}$$ $n=1$ için $S=11$ olacağından en küçük $5$ asal sayı, $2,3,5,7,13$ elde edilir.
$10$ tane asal için $(1)$'de olmayan $11,23,29,37,43$ asallarının $S$'yi bölebileceğini göstermeliyiz. Bunun için $n=1,3,5,7,9$'u incelersek bu asalların böldüğü $S$ değerlerini bulabiliriz (Elle hesaplaması zordur). Dolayısıyla $2,3,5,7,13,17,19,31,41,47$ asalları da $S$'yi bölemez.
Peki $p\equiv 1,2,4\pmod{7}$ olan herhangi bir asal sayı için kesin olarak $p\mid S$ olmasını sağlayan bir $n$ var mıdır?
